(1.7)

假设某一投资者持有 股这种股票,记无风险利率为r。根据无套利假设,该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等,即

                                                (1.8)

解上式得到:

                                                      (1.9)

可见,上式(1.9)中的 意味着两个节点之间的期权价格增量与股价增量的比率。该组合的现值为:

                                                    (1.10)

又组合的当前价值为 ,所以根据无套利条件有

                           

从而

                                              (1.11)

如果令

                                                       (1.12) 

则式(1.11)可以写成

                                              (1.13)

式(1.13)就是二项式期权定价公式。

需要指出的是,由于我们是在无套利假设下讨论欧式股票期权的定价,因此无风险利率r应该满足: ,也就是满足 。 

特别指明:式(1.12)中定义的概率为风险中立概率,记为 ,由此概率可以得出市场是无套利的。文献综述

1.5 文章结构

本文基于无套利与资产定价的某些等价关系,从Harnack不等式、Black-Scholes定价公式、CAPM定价公式等视角,较深入地考察市场无套利的基本特征。这既是对Black-Scholes模型的一个很好的解释,也是刻画金融市场无套利特性的有效途径。

文章的结构分为如下四个章节。

第一章节是绪论部分,主要介绍了无套利的定义、基本发展历史、未来的发展方向等。在此基础之上简单介绍了经典的二项式。最后总结了本文的一些创新点。

第二章节给出了一些预备知识,包括几何Brown运动、Ito公式以及Kolmogorov方程等。这些预备知识是后面研究必须要用到的。

第三章节是文章的核心部分,分为三个部分。

首先结合无套利的特性,讨论了无套利的几个等价条件。在此分析的基础之上,将无套利的思想与产品定价结合起来,即:要想明确地给出一个产品的定价,那么市场满足无套利条件是非常重要的。如果所考虑的市场上存在套利机会,那么投资者就会抓住此机会进行投机,从而使得供求关系发生变化,价格也会随之变动。

其次介绍了Black-Scholes模型,根据此模型给出的期权定价公式,讨论了无套利原理与B-S公式联系。从定性分析的角度说明B-S公式给出的定价是满足无套利条件的。

最后讨论了偏微分方程中的Harnack不等式,然后将Harnack不等式应用在B-S模型中,用Harnack不等式证明了B-S模型中所考虑的市场是满足无套利条件的,更重要的是此部分中明确地得出了Harnack常数的表达形式。

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