数学家欧拉对复数理论作了最系统的叙述。在1777年的时候,欧拉建立了系统的复数理论,解释了三角函数与复指数函数的关系,并且建立复变函数中的一些基本定理,提出i作为虚数的单位。

19世纪,复变函数得到了进一步的发展,这些成绩得利于德国数学家维尔斯特拉斯、黎曼以及法国的柯西(Cauchy)等伟大的数学家的努力,正是在他们的不懈努力之下,复变函数形成了非常系统的理论。

它不仅深入到了拓扑学、代数学、解析数论、微分方程等数学分支领域,而且还在其他诸如热力学、流体力学等方面有着重要应用。

辐角原理是复变函数的一个重要定理，因此讨论辐角原理及其推论不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值。

目标 

本课题目标是运用类比法、分析法、演绎推理法等对辐角原理及其推论和应用进行系统的归纳总结。

2 复数与复变函数

2.1 复数

2.1.1 复数

定义2.1  我们把诸如

                 z=x+iy或者z=x+yi

      这样的数称为复数。这里x和y都是任意的单位为1实数。而i是满足i^2=-1的,称i为虚数单位。

2.1,2 复数域  所有的复数以及经过以上四种运算得到的全体称为复数域。

2.1.3复平面  对于复数我们可以利用初中所学的平面坐标轴来表示,即任意的复数z=x+iy,我们可以借助于横坐标为x,纵坐标为y的点来表示.(如下图2.1)

y

                   z= x+iy   

i

X

图2.1

称x轴为实轴,y轴为虚轴.那么,我们把表示复数z的平面称为复平面,常用C表示.有了复平面后,我们就把＂数＂和＂点＂之间联系起来，因此我们也把数集称为点集.

2.1.4 复数的模与辐角　有了上面了复平面的概念后，我们就可以定义复数的模了．在复平面上，向量□(→┬Ｏｚ )的长度称为复数z的模(绝对值),表示成|z|=√(x^2+y^2 )(≥0).

复数的模可以比较大小,有|z_1+z_2 |≤|z_1 |+|z_2 |成立,称之为三角不等式.

在图2.1中的复平面上,夹角θ满足tan⁡θ=y/x,称θ为复数z的辐角,通常都记成θ=Arg z .用arg z表示辐角中的某个特定值,并且假定有arg z∈(-π,π].那么就有θ= Arg z=arg z+2kπ.

(为了后面的计算方便,我们有必要在这里先引入欧拉公式: e^iθ=cos⁡θ+isin⁡θ)文献综述

2.1.5 共轭复数  复数z=x+iy的共轭复数为z ̅=x-iy,

显然,共轭复数满足|z ̅ |=|z|, Arg z ̅= -Arg z,换句话说复数跟它的共轭复数总是关于实轴对称的.

复平面上的点集

点集与区域的概念

在复平面上,我们把以z_0为圆心,半径为ρ的圆,称为点z_0的ρ-领域,通常我们记成N_ρ(z_0).同样的道理我们可以得到去心领域,即z_0 的领域中去掉圆心这一点后剩下的部分.

假如点集A内的点z都满足|z|≤M,其中M是正数,则称A为有界集.

我们把满足a)点集A是开集;b)点集A中任意的两点都可以用全在A中的折线连接(如图2.1),这样的非空点集A称为区域[1].

定理2.1  复平面上的任意一条简单闭曲线C将整个平面分成三个部分(如图2.2),这三个部分一定满足下面的性质:

彼此不相交;

I(C)是个有界区域(称为C的内部);

E(C)是个无界区域(称为C的外部);

由内部和外部中的两点连接成的简单折线一定与曲线C相交.

(此定理即为若尔当定理).