摘要：高阶常微分方程是常微分方程中的重要部分，本文主要总结了高阶常微分方程中常 用的几种解题方法，具体包括降阶法、欧拉方程法、常数变易法、待定系数法.71453

毕业论文关键词： 高阶常微分方程，降阶法，常数变易法

Abstract：Higher order ordinary differential equation is an important part in ordinary differential equations. This paper mainly summarizes the higher order ordinary differential equation that is commonly used in the problem solving methods, including the method of reduction of order, Euler equation method, constant variation method, the method of undetermined coefficients.

Keywords：Higher order ordinary differential equations, reduction of order, constant variation method

目录

1 前言 4

2 预备知识 4

2.1 基本概念 4

2.2 基本定理 5

3 高阶方程的降阶法 5

3.1 第一种可降阶的高阶方程 5

3.2 第二种可降阶的高阶方程 6

3.3 恰当导数方程 8

4 高阶常系数线性方程解法 8

4.1 高阶常系数线性齐次方程解法 9

4.2 高阶常系数线性非齐次方程解法 11

5 欧拉方程法 17

结论 19

参考文献 20

1 前言

一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数的 等式 1.微分方程有深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生， 而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.微分方程差 不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及 其他科学技术的发展密切相关的.

如果微分方程中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程 1.常 微分方程是数学学科各专业的一门重要的基础课，是整个数学课程体系中的一个 重要的组成部分.常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各 种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应 过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究 解的性质的问题.

高阶常微分方程又是常微分方程中的必不可少的一部分，同时学习高阶微分 方程的解法又是学习高阶微分方程的重要环节，本文主要总结了高阶常微分方程 中常用的几类解题方法，具体包括：降阶法、欧拉方程法、常数变易法、待定系 数法.这些方法大部分是比较常规的但又是行之有效的方法，在应用时，我们应 该根据具体题目选择不同的方法.论文网

2 预备知识

2.1 基本概念

定义11,2在微分方程

中，若 f (x) 不恒为零时，则称 (1.1) 为 n 阶线性非齐次微分方程；当 f (x) 0 时， 方程 (1.1) 变为

式 (1.2) 称为式 (1.1) 所对应的 n 阶线性齐次微分方程，其中 pi (x)(i 1,2,, n) 及

f (x) 是区间 a x b 上的连续函数.

定义 22

定义在区间 a x b 上的 k 个可微 k 1次的函数 y (x), y (x),, y (x) 所

构成的行列式

称为这 k 个函数的朗斯基行列式，有时简记为W (x), x a,b.