摘要二项式定理及其应用在历史上早已有了研究，而二项式定理以及其系数表达式也在高等数学中起到重要作用，它的运用十分广泛。在深入研究了二项式定理以及其性质后以及在三项展开式的研究基础上，展开了对四项展开式的问题的研究, 获得了四项展开式的一些有趣性质, 并对这些性质逐个证明。此外，还利用这些性质证明了一些新的组合恒等式。最后，给出例题，利用本文所得的性质来证明。72403

Scientists had already researched the Binomial theorem and its application for many years in the past。 From a large numbers of documents, we know that Binomial theorem and its coefficient play the important role in the advanced mathematics and they are widely used。 After research the binomial theorem and their properties of quadranomial，on the foundation of the trinomial expansion, the problem of quadranomial expansion is studied and some interesting properties of quadranomial coefficient are obtained。 In addition, these properties has been proven。 What’s more, using these properties, several new combinatorial identities are proven。 Lastly, using the properties we obtained before prove the example。

毕业论文关键词：二项式定理;   四项式定理;  四项式系数;  组合恒等式

Keyword: binomial theorem; quadranomial theorem; quadranomial coefficients; combinatorial identity

目    录

摘    要 3

1。 引言 5

2。 多项展开式的背景 5

3。 四项展开式的性质及其证明 8

4。 几个新的组合恒等式 12

5。 四项展开式的应用 18

6。 结论 18

参考文献 19

致谢 20

1。 引言

众所周知，二项式定理以及与其密切相关的二项式系数有许多有趣的性质，很多作者曾进行过深入的研究[1-12]。受先前许多学者的启发，二项式定理的推广方面仍然有许多方面可以完善，所以本文意在对二项式定理的推广做进一步完善。二项式定理在处理有关两个元素和的幂的问题时候，常常考虑到一个重要公式  ，这个公式有着十分广泛的应用。深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙运用，能够为许多数学问题提供另类的解法，同时也可以巧妙解决一些难度较大的问题，因此，进一步探讨二项式定理的应用以及推广仍是一项有意义的工作。前年，毛妍和谷峰[6]讨论了一个三项展开式，并获得了几个新的组合恒等式。在深入研究了二项式定理和相关定理的条件和结构后，在三项展开式的性质及其应用的研究基础上，展开了对四项展开式的问题的研究。我们将三项展开式的性质构成的条件和结构进行适当变形，获得了四项展开式的一些有趣性质，并对这些性质逐个证明。此外，还利用这些性质证明了一些新的组合恒等式。最后，给出例题，利用本文所得的性质来证明。

本文受此启发，引入并研究了如下展开式：

把展开式（1）称为一元四项 次展开式，简称为四项展开式，并把 称为四项式系数。关于展开式（1）及其系数 的性质，很少有人研究。在本文讨论四项式的部分，我们首先讨论了四项式系数 的一些基本性质，然后利用这些性质证明了几个新的组合恒等式。文献综述

2。 多项展开式的背景 

二项式定理又称牛顿二项式定理，在初等数学的学习中起到了承上启下的作用，它可对初中数学学习的多项式的变形起到复习、深化的作用；在组合理论中，利用二项式定理可得到一些关于组合数的恒等式，从而深化对组合数学的认识；二项式定理与概率理论中的二项分布有其内在联系，是进一步学习概率统计的准备知识；二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。此外，二项式定理在开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，是研究数学分析、方程理论、级数论、函数论的有力工具，对于微积分的充分发展更是必不可少的一步。二项式定理可以推广到对任意实数次幂的展开，它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。