在前人的基础上，牛顿在无穷小的基础上建立微积分。他在1669年著作的《运用无穷多项方程的分析学》中根据二项式定理得到了求曲边梯形的方法。假定曲边梯形面积 （ 是有理数）．他把 的无穷小增量叫 的瞬，用 表示，把由曲线、 轴、 轴及 处纵坐标所围成的面积用 表示（ 是面积的瞬）。根据二项式定理得到

 ，代入 得

 ，略去含 的项，得 。由此若已知曲边梯形面积为 ，那么构成面积的曲线为 ，反之也可成立。但牛顿虽然给出了简便的算法，却无法给出合理的解释。比如上文中提到的无穷小增量 是不是 ？若不是的话，为何在计算过程中可以略去含 的项呢？因此它并没有说清概念，只是简化了计算，这种计算就是我们现在所说的微积分基本定理。1671年，牛顿又著作了《流数法和无穷级数》，与之前论作不同的是，他认为数学量都是由连续轨迹运动产生的，改进了原来的静力学不可分法，同时也提供了更有效的计算方法。但该种方法仍是以无穷小量为基础，计算中舍去含 项的过程仍无法解释，因为还是存在逻辑漏洞。1693年，牛顿著作了《曲线求积术》，这本书中，他放弃了无穷小量，提出了最初和最后比的概念，依然沿用了之前所说的流数算法。同时他给出了导数的概念，利用最初和最后比求出了 关于 的导数，同时给出了几何意义的解释。事实上，早在1687年，牛顿就出版了第一本微积分学说的巨作《自然哲学的数学原理》，书中用极限思想解释了微积分学中的许多概念，可见他将微积分建立在极限的基础上。本书不仅为之后的《曲线求积术》提供了理论基础，更是数学史上划时代的作品，所以我们认为牛顿创立了微积分。论文网

莱布尼兹同样对微积分的创立有巨大贡献，他在研究费马、笛卡尔、帕斯卡等人的著作时，写了《数学笔记》，慢慢地建立了微积分学。在研究帕斯卡三角形问题时，他发现任何元素是上面一行左边各项之和，也是下面一行相邻两项之差。为了将数列求和求差运算与微积分联系起来，他用 表示数列的项数，用 表示这一项的值，用 表示数列的相邻项的序数差（此时为0），用 表示相邻项的值的差。由此，有限序列的和差关系可表示 （ 表示和）。进一步，莱布尼兹将之一般化，用 表示函数的相邻自变量的差，用 表示相邻函数值的差，同时将它们在坐标系中表示出来，使它们有了几何意义。1686年，在整理不断完善的《数学笔记》之后，莱布尼兹发表了第一篇微积分论文《一种求最大值与极小值以及求切线的新方法》，对微分给出定义：“横坐标 的微分 是一个任意量，而纵坐标 的微分 则可定义为它与 之比等于纵坐标与次切线之比的那个量。”同时，书中还给出了微分法则 及函数的和、差、积、商的证明，由此探讨求切线、求极大极小值和求拐点的方法。

综上，两人在创立微积分学上都做出了巨大的贡献。虽然两者出发点不同，研究侧重点也不同，但他们各自独立地发现了微积分基本定理，并建立起一套有效的微分和积分算法；同时把微积分从几何形式中解脱出来，采用了代数方法和记号，扩展了它的应用范围。因此，速度、切线、极值、求和四大问题都得以用微积分解决。然而由于两者都是以无穷小量为基础研究极限，对无穷小量的概念过于模糊，导致对极限的定义不够严格，因此牛顿和莱布尼兹的理论受到了严峻的挑战。就像所有的新事物一样，任何重大理论都需要时间来沉淀，极限思想与微积分理论也需要改进。

3 极限概念的定量化和数学符号表达阶段