现若变量Y与x_1、x_2有回归模型：

Y=1+4x_1+3x_2。

我们可以采用因式分解法把上面模型中的4x_1分解成两部分的和，这样可以列出若干种分解方法，我们取其中两种，得到下列两种等价的形式：

                    Y=1+4x_1+3x_2=1+x_1+3x_1+3x_2，             （2。2） 

              Y=1+4x_1+3x_2=1+8x_1-4x_1+3x_2。            （2。3）

将（2。1）式x_1=3x_2+2分别代入方程（2。2）中的3x_1和方程（2。3）中的4x_1，可以得到以下两个方程：

Y=1+x_1+3x_1=1+x_1+3(3x_2+2)+3x_2=7+x_1+12x_2，　　  （2。4）

Y=1+8x_1-4x_1+3x_2=1+8x_1-(3x_2+2)+3x_2=7+8x_1-9x_2。 （2。5）

在（2。4）中，x_2的系数为12，表示Y与x_2成正比例关系，即正相关；而在（2。5）中,x_2的系数为-9，表示Y与x_2成负比例关系，即负相关。如此看来，同一个方程Y=1+4x_1+3x_2变换出的两个等价方程，由于不同的因式分解和替换，导致两个方程两种表面上矛盾的结果。文献综述

实际上，根据x_1=3x_2+2式中的x_1与x_2的共线性，x_1约相当于3x_2，在（2。4）减少了3x_1，即需要用9个x_2来补偿；而在（2。5）增加了4x_1，需要用12个x_2来抵消，以便保证两个方程的等价性，这样一来使得（2。5）中x_2的系数变为了负数。从上述分析看来，由于x_1与x_2的共线性，使得同一个方程有不同的表达形式，从而使得Y与x_2间的关系难以用系数解释。

2。1对复共线性关系的初步估计与识别

如果在实际应用中产生了如下情况之一，则可能是由于复共线性的存在而造成的，需作进一步的分析诊断[1]。

①增加(或减去)一个变量或增加(或剔除)一个观察值，回归系数发生了较大变化。

②实际经验中认为重要的自变量的回归系数检验不显著。

③回归系数的正负号与理论研究或经验相反。

④在相关矩阵中，自变量的相关系数较大。

⑤自变量回归系数可信区间范围较广等。

3 对复共线性本质的认识

复共线性可分为完全复共线性和近似复共线性(或称高度相关性)，现在我们集中讨论复共线性的本质问题。复共线性普遍被认为是数据问题或者说是一种样本现象。我们认为，这种普遍认识不够全面，对复共线性本质的认识，至少可从以下几方面解解。

3。1 复共线性是由变量之间的性质引起的

这一认识沿袭了传统经济计量学对复共线性的认识，而现经济计量学否定了这一认识。我们认为这种否定还需斟酌。

首先，在完全共线情况下，例如研究消费C与总收入T、工资收入S和非劳动收入N之间的关系，设定模型为:

C=β_0+β_1 N+β_2 S+β_3 T+ε。　　　 　  　　　　（3。1）

式中解释变量T=N+S恒成立。这种共线性的发生与数据取样多少、数据观察有无误差均无关系，因为复共线性完全是由变量间的性质引起的。

其次，在高度相关的情况下，比如研究税收额y与总产值x_1与增加值x_2、税率x_3之间的关系，设定模型为:

y=β_0+β_1 x_1+β_2 x_2+β_3 x_3+ε。　　　  　　　　　（3。2）

式中，两个重要的宏观经济总量指标，总产值 与增加值 必定高度相关，因为总产值x_1=c+v+m，增加值x_2=c_1+v+m，而c=c_1+c_2（c_1为固定资产折旧，c_2为原材料转移价值)，这时不管数据以什么形式取得，数据取样是大是小，都会出现解释变量x_1与x_2高度相关。因此，变量之间的性质是导致复共线性的重要原因。