t, t, t,, t

1 2 3 r

,1 i s 。那么，假若线性方程组 A1 X 0 ， A2 X 0 ，……， As X 0 有非

零公共解，则向量组 t11

线性相关。

证明 若已知线性方程组 A1 X 0 ， A2 X 0 ，……， As X 0 有非零公共解，则易得齐

次线性方程组中任意 Ai X 0 与 Aj X 0 (1 i, j s;i 

j )有公共解，由定理 1 我们可知:向量

线性相关，又有：如果向量组的部分组线性相关，那么这个向

量组就整体线性相关[1]，因此我们可以由定理得到向量组 t

srs线

性相关。

注：充分性不成立 若已知向量组 t11

线性相关，则存在

不全为零的实数 a11

,使得

但是，由向量组 t11

整体线性相关，但是并不一定能够推出其

中的某两个向量组 ti1

线性相关，从而并不一定能够得到 Ai X 0 与

Aj X 0 (1 i, j s;i 

j )有公共解。据进一步讨论，我们能够得出这样的结论：线性方程组

A1 X 0 ， A2 X 0 ，……， As X 0 不一定有非零公共解。 为此我们举 1 个反例来印证我们的结论。

反例 1 我们采用集合的观点来简析此问题。设有三个集合 A 、 B 、 C ，且知 A B ，

A C ， B C 但是，我们并不能得出 A B C 。我们采用图示法：

基于以上图示，我们可以清晰地判断定理 2 的正确性。

通过对定理 2 的完善，并依据定理 1，我们继续讨论 ss 2个齐次线性方程组有非零公 共解的充分必要条件。

定理 3[2] 设 A 为 m n 矩阵， A 的秩等于 n r n ,齐次线性方程组 A X 0 的基础解系

i i i i i

,1 i s 。那么，齐次线性方程组 A X 0 ， A X 0 ，……， A X 0 有非零

i1i 2

iri

1 2 s

公共解的充分必要条件是：至少存在 1 个 k （1 k s ）,并且存在不全为零的实数向量组

ak1 , ak 2 ,, akr, bi1 ,, b，1 i s 且 k i ,使得

a 1t 1a 2t2at

b 1t 1 b 2t 2 b t

0 (其中1 i s ,且 k i )。

kk kk

krk

krk i i ii

iriiri

证明 充分性 若至少存在 1 个 k（1 k s ）,并且存在不全为零的实数向量组

ak1 , ak 2 ,, akr, bi1 ,, b，1 i s ,且 k i ,使得

其中1  i  s ,且 k  i ，则我们可以知道向量组 t11

srs

线性相关，

此时我们易得向量组 bi1

为方程组 Ak X 0 的基础解系，因此 tk1

线性无关，因此可得