摘要本文旨在讲解不等式在竞赛数学中的运用，通过一道“希望杯”竞赛试题，以“一题多解”的形式拓宽思维，提炼出多种证明不等式的方法。本文还从多个角度对该不等式进行了推广，诠释了“一题多变”的数学思维。72773

This paper aims to explain the applications of inequalities in the mathematic competition and refine a variety of methods to prove inequality by the example of one “Hope Cup” contest question in the form of “a problem of multiple solutions” to broaden thinking。 What’s more, this paper makes the deduction and verification from the multiple perspectives to interpret the mathematical thinking of “variations of a question”。

毕业论文关键词：不等式； 竞赛数学； 证明；推论

Keyword: inequality; mathematic competition; verify; extension

目    录

第一章 不等式在竞赛数学中的重要性 5

第二章 一道竞赛不等式试题的证明。 5

2。1柯西不等式 6

2。2均值不等式 6

2。3构造法 8

2。4概率方法 10

2。5  不等式 10

第三章 不等式的一些推广 12

第四章 结语 16

第一章 不等式在竞赛数学中的重要性

早在1894年，在匈牙利数学家L。 Eutvos组织下第一次 “竞赛数学”诞生了，从此数学竞赛就渐渐地被人们所熟知。随着竞赛数学在数学界地位的提升，在著名数学家华罗庚教授的大力倡导下，1956年我国首次举办了高中数学竞赛。伴随着一系列数学奥林匹克活动的开展，竞赛数学也渐渐走近高中生的生活。刘建建在《关于CMO试题及成绩的统计分析》[ ]一文中说，历年奥林匹克竞赛试题主要在代数、几何、初等数论、组合初步这四大板块上拓展延伸。而代数方面的考察内容主要集中在不等式、数列和函数方程这三个方向上。

普通高中《数学课程标准》[ ]指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量是同等重要的。”一直以来不等式都是高中数学理论学习的重要组成部分，是联系生活，描述现实生活中不等关系的或不可缺的数学模型，在研究数量关系中也独领风骚。近几年来，高考数学的压轴题更是喜欢将不等式与其它知识相结合进行考查，不等式也渐渐变成高考的“宠儿”。而高考的压轴题大部分来源于竞赛数学试题，其出题者往往将竞赛试题拆分成多个小题，为考生一步步铺下台阶，便于学生进行思考与解题。因为不等式在数学的所有领域都起着重要的作用，并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研究领域，所以不等式问题在中国奥林匹克数学竞赛（CMO）试题及国际奥林匹克数学竞赛（IMO）试题中的比较稳定，基本都保持在一定的水平上，且比重都不小。不等式的很多结论既深刻又漂亮，有些不等式的求解及证明技巧性极强，需要经过转化变形才能得到相应的结论，所以不等式问题特别能考察学生的数学运算能力、解决问题能力、逻辑推理能力等，所以不等式问题在以后的数学奥林匹克竞赛中也必定会占有相当稳定的比例。文献综述