摘　要：辅助函数在许多数学问题解决中起着关键作用，从而在高等数学中有广泛的应用．辅助函数的构造及应用，始终是学习中的重难点．本文通过对辅助函数的特征、功能、类型的介绍以及构造方法的讨论，对辅助函数在高等数学中的应用进行总结和归纳．74169

毕业论文关键词：辅助函数，构造，方法，应用

Abstract: Auxiliary function in solving many problems in mathematics plays a key role, thus widely used in higher mathematics。 Structure and application of auxiliary function is always the key and the difficulty of learning。 In this paper, the characteristics of the auxiliary function, function, type of presentation and construction method are discussed, the application of auxiliary function in higher mathematics were summarized。

Keywords: auxiliary function, structure, method, application

目　　录

1 引言4

2 辅助函数与辅助函数法4

3 辅助函数的构造方法4

4 辅助函数在高等数学中的应用5

4。1 证明数学定理5

4。2 证明中值存在性6

4。3 证明不等式7 

4。4 证明恒等式7

4。5 求极限8

4。6 证明函数一致连续性8

4。7 求函数表达式9

4。8 计算行列式9

4。9 解决极值问题10

4。10 级数求和11

4。11 微分方程求解11

4。12 计算积分12

结论13

参考文献14

致谢15

1　引言

    函数描述的是数量间的关系，函数思想是指用函数的概念以及性质去分析和解决问题．通常函数思想是先构造函数再利用函数的性质解题，经常利用的函数的性质是：函数的单调性、最值、图像等，这就要求我们必须熟练掌握初等函数的具体特征．构造辅助函数是函数思想在数学中的重要应用，也是高等数学解题的一种重要方法．在解题中，我们要深入、充分、全面对题目中的问题进行观察、分析，这样才能产生问题与函数的联系，易于构造函数的表达式．另外，不等式、方程及一些代数问题也可等价转化为相应的函数问题．我们要能够发现题目中的隐含条件，构造函数且巧妙应用函数的基本性质．

2　辅助函数与辅助函数法 

(1) 辅助函数法的概念

在数学问题的求解过程中，通过对已知条件以及结论的分析，构造函数，利用函数的性质，转化并解决问题．在这过程中构造的函数我们称为辅助函数，利用辅助函数解决问题的方法则称为辅助函数法．

(2) 辅助函数的特征

  辅助函数类似于初等几何解题中的辅助线，用来辅助解题．同一个命题可以构造多种辅助函数，但辅助函数不一样对应的解题难度也不一样，因此如何构造恰当的辅助函数是解决这类问题的关键．论文网

(3) 辅助函数法的功能

 高等数学中许多解题过程都涉及到辅助函数．根据题中的已知条件构造出恰当的辅助函数，将问题转化为熟悉的形式，辅助函数是这种等价转化的桥梁．构造辅助函数也可以将题中的隐藏条件体现出来，并与要证的结论产生关联，这往往是证明题中的难点，在这里辅助函数起到媒介的作用．

(4) 辅助函数的常见类型

 在构造辅助函数过程中有几种常见的类型，单调函数就是其中的一种。根据题意，进行移项或者作商等方法，求辅助函数的单调性，从而得到问题的解题思路．拉格朗日函数在高等数学中的表现形式为多元函数，求其偏导函数，从而找到极值或者最值，解决问题．还有部分可积函数、延拓函数等其它函数也可以构成辅助函数，能够构成辅助函数须具有相应的性质或功能，才能使得问题得以解决．