第三章，给出其中三种迭代法在线性方程组中的应用，分别是雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法以及SOR迭代法，各给出1—3个例题加以说明。

第二章  几种基本迭代法的介绍及推导

在本章中，我们介绍几种基本的迭代法，包括雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、SOR迭代法、分块迭代法及共轭迭代法，然后推导出其对应的收敛公式。通过对迭代法的了解，学习和领悟其中的数学精神和思想。

2。1 雅可比迭代法

2。1。1 雅可比迭代法的基本条件[6]

迭代法与直接法不同，，不是通过预先规定好的有限步算术求得方程组的解，而是用某种极限过程去逼近 精确解的方法，即从某一个初始向量 出发，按一定的迭代格式产生一个 ，使其收敛到 的精确解。一般 的计算公式是： ，式中 与 ， 有关，称为多步迭代法。若 只与 有关，即 ，这称为单步迭代法。再设 是线性的，即 ，其中 称为单步线性迭代法， 称为迭代矩阵，若 和 与 无关，即 称为单步定常线性迭代法。

设   其中 为非奇异，满足方程 。

即其中 ，而 和 分别为 的严格下、上三角部分（不包括对角线） 。

2。1。2 雅可比迭代法原理及迭代公式推导

1。 雅可比迭代法原理

根据以上条件，现设 非奇异，即 。选取 为 的对角元素部分，即选取 ，等价于 ，由此构造迭代法 ，其中向量 和迭代矩阵 为 。式子 称为雅可比迭代法，也称 法。可以得到 ，进而得到它的分量形式 ，用雅可比迭代法计算 ，要用两组单元存放向量 和 。文献综述

2。 雅可比迭代法迭代公式的推导

下面给出雅可比迭代法的分量计算公式，记

 ，

由雅可比迭代公式 

于是，解 的雅可比迭代法的计算公式为

由上式可知，雅可比迭代法计算公式简单，没迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程中原始矩阵 始终不变。

其收敛条件：

设 ，其中 为非奇异矩阵，且对角矩阵 也非奇异，则解线性方程组的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ，其中 。

2。2 高斯—塞德尔迭代法

1。 高斯—塞德尔迭代法原理[6]

其基本的前提原理与雅可比迭代法类似，只是最后的迭代形式有些差别。

如果令 ，这样我们便可以得到高斯—塞德尔迭代法，简称为G—S法。 

其中： 。

2。 高斯—塞德尔迭代法迭代公式的推导

选取分裂矩阵 为 的下三角部分，即选取 （下三角矩阵）， ，于是由式 ，得到解 的高斯—塞德尔迭代法

其中， ，称 为解 的高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵。

下面给出高斯—塞德尔迭代法的分量计算公式。记

于是解 的高斯—塞德尔迭代法计算公式为

由高斯—塞德尔迭代公式可知，计算 得第i个分量 时，利用了已经计算出的最新分量 ，高斯—塞德尔迭代法可看作雅可比迭代法的一种改进。

2。3 SOR迭代法

1。  SOR迭代法的原理来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

SOR迭代法[6]的原理与雅可比迭代法及高斯—塞德尔迭代法的基本相同，只是在迭代过程中加入了松弛因子而有所不同。

2。  SOR迭代法收敛公式的推导

选取分裂矩阵M 为带参数的下三角阵

其中ω> 0 为可选择的松弛因子。

于是， 由上式可构造一个迭代法， 其迭代矩阵为