的右边为 在 处的幂级数展开式，或者叫做泰勒展开式。例5 求函数 的展开式

解 由于 所以 的拉格朗日型余项为显见因而 。由定理得到例6 函数 的各阶导数是从而 所以 的麦克劳林级数是用比式判别法容易求得级数(1)的收敛半径 ，且当 时收敛；当 时发散，故级数（1）的收敛域为 ，现在讨论在这收敛区间上它的余项的极限情形。