夹逼法不仅可以用于证明判断极限是否存在，也能用这个方法来求得极限。关键在于找到夹逼两端的函数或数列，这通常涉及到放大与缩小的技巧，不能过分的放大或缩小。在涉及到取整号，阶层等情况时，运用夹逼法能很好的解决问题。首先，将先给出在求数列和函数极限时夹逼定理的具体内容如下。

1。数列极限

定理1[2]：数列 ， ， ,若存在正整数 ，当 时，有 ，且 

则有推论：若存在一正整数 ，当 时，有 或者 ，且

则有例6：求极限

解：记 ,则

2。函数极限

定理2[1]：若在某 内有

综上，可得

（三）利用单调有界必有极限准则与极限运算法则求极限

单调有界定理可以用来判别极限存在与否，仅仅能够判断出极限是不是存在，进一步的求出具体的值还需要联合运用极限的运算来求解。但是该方法运用的范围也是有限的，既要求数列单调又需要有界，但是有些数列并不是单纯的单调递增或递减。如果某个数列是单调递增的，那么只需要证明有上界，若是单调递减的，则只需证有下界

一般可以总结为三步来求极限，第一步判断是否单调，第二步证明是否为有界量，根据第一第二两步则可以确定极限存在，最后结合极限的运算法则求极限，设所求极限为 ,求解关于 的方程。

定理3[2]：单调有界数列必有极限

例8：证明数列 ， 的极限存在，并求其值。

解：显然可见 是单调递增的，下面证明 具有上界

即 有上界 ，按照单调有界定理可知 极限存在。

进一步利用极限运算法求极限值，设

根据 ，知 ，令 ，得

解之，得 

例9：设 满足： ，求 

解：根据已知条件可知

由此可知 ，即 有上界

再由已知条件可得

可知， 单调递增，故 。

进一步利用极限运算法求极限值，设

两端取极限，可得

由 的递增性可知，

（四）利用无穷小量相关方法求极限

等价无穷小量替换是求极限时最常用的方法技巧之一，可以帮助简化问题，高效的得出极限。需要注意的是，等价无穷小的替换不能随意的在和差项中进行。事实上，也不是所有相加相减的项都不可以进行等价无穷小的替换，在一定的条件下仍有部分可行的情况。文献综述

除了等价替换之外，利用无穷小量的性质也可以解决问题，当无穷小量与有界量相乘时，可以直接得出相乘后的数列为无穷小量，无穷小量与无穷小量相加，相减或是相乘结果仍为无穷小量。

1。利用等价无穷小量替换求极限

定义4[1]：（数列）当数列以零为极限时，这种数列称为无穷小量

（函数）设 在某 内有定义，若

则称 为当 时的无穷小量。

类似地有，当 ， ， ， 以及 时的无穷小量。

定义5[2]：设 和 都是无穷小量，它们可以是函数也可以是数列。

当 时，称 和 是等价无穷小量，记为 。

常用的无穷小量等价替换有

当 时， 

例10：求极限

解：由于当 时， ， ，所以

例11：求极限解：

需要特别注意在和差项的部分中不能随意用等价无穷小量替换，如例题12的情况就不能直接替换。

例12：求极限

解：如若在和差项 中直接用等价无穷小量替换则分母化为 ，得出极限为零的结论。这样的做法是错误的。虽然当 时， ，同时 没有错，但是 与 不等价。碰到这样的情况，其实只要稍作变换，将和差形式化为乘积形式即可。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*