摘  要：本文主要利用了矩阵初等变换的定义及性质来讨论矩阵初等变换在矩阵的逆，矩阵的秩和线性方程组这三个方面的应用。

毕业论文关键词：初等变换，矩阵的逆，矩阵的秩，线性方程组74784

Abstract: In this paper we mainly discussed the applications of elementary transformation of matrix in the inverse of the matrix, rank of matrix and linear equations by the definition and properties of elementary transformation of matrix。

Key words: elementary transformation, inverse of a matrix , rank of matrix, linear equations

目  录

1  引言 4

2  预备知识 4

2。1  基本定义 4

2。2  简单性质 4

3  矩阵初等变换的一些应用 5

3。1  运用矩阵初等变换求逆矩阵 5

3。2  运用矩阵初等变换求矩阵的秩 6

3。3  运用矩阵初等变换解线性方程组 7

结  论 10

参 考 文 献 11

1  引言

在高等代数和线性代数的问题研究中运用初等变换分析和解决问题是一种非常重要的思维方式。这种方法的实质是将复杂的问题变得简单化,简单不仅指计算还指解决问题的思路,并且这种方法还能够保持事物的本质不变[1]。 矩阵的初等变换计算简洁便于应用,用初等变换去解决有些运算复杂的问题往往会起到事半功倍的效果。本文将对求矩阵的逆，矩阵的秩，和求解线性方程组所应用到的矩阵的初等变换进行研究，较为系统的总结矩阵初等变换的三点应用。论文网

2  预备知识

2。1 基本定义

定义1[2]   由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵，我们称为初等矩阵。

定义2[3]  矩阵的行（列）初等变换即对矩阵实施下列变换：

⑴矩阵的两行(列)互相交换位置,简称为位置变换。

⑵将矩阵的某行(列)乘以一个非零常数,简称为数乘变换。

⑶矩阵的某行(列)加上另一行(列)的非零常数倍,简称为倍乘变换。

定义3[2]  如果 可以由 经过一系列初等变换得到，则矩阵 与矩阵 等价。

定义4[2]  如果有n级方阵 ,使得 ,这里 是n级单位矩阵，那么n级方阵 称为可逆的。

定义5[2]   矩阵 的秩是指与之等价的阶梯形矩阵中非零行的个数 ,记为 。

定义6[2]   所谓阶梯型矩阵就是矩阵从上到下的每行中，第一个非零元素左边零的个数随行数增加而增加，所有元素全部都为零的行位于矩阵的最下面。

2。2 简单性质  来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

性质1[2]  任何一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。

性质2[2]  初等变换不改变矩阵的秩。

性质3[2]   矩阵的行秩等于矩阵的列秩。

性质4[2]  对于任何 矩阵 ，必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵

称 为矩阵 的等价标准形。此标准形是有 完全确定的，其中 就是阶梯形矩阵中非零行的个数，即矩阵的秩。

性质5[2] （线性方程组有解判别定理）：线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵 的秩等于增广矩阵 的秩。

3  矩阵初等变换的一些应用