公式（3。2）-公式（3。1）得   

 ．

注：令 ，可求得函数 的不动点为         ，于是，

　                              ．

定理3。2[8]设　　　　　　　　　　　　　， 满足递推关系 ， ,初值条件 

   （1）若 有两个相异的不动点 ，则  　　　　　　　（这里　　　　　）；

   （2）若 只有唯一不动点 ，则    　　　　　　　（这里　　　　　）．

例1[8]若 ， ， ,求 ．

解：设 ，令 ，解得 ，

于是有

 ，

故 ，即 ．

例2若 ，          ， ，求 ．

解：方法一：考虑递推公式对应的不动点，

令         ，解得 ．

于是有 

两边取倒数化简得

记          得到             ．剩余同上题．

方法二：考虑到有两个不动点，则可以通过不动点得到两个式子

                      ，                   ．

两式两边分别相除得 

于是得到           

解得             

                 ．

注意：在本题中， 是与 相关的式子，无法直接累加累乘，但求倒数后就可以进一步进行整理，找到转化的方向．若特征根有两个，通过两式相除可以直接将 消去，得到一个等比数列．不管是哪种处理方式，寻找不动点都是一个很好的递推公式的整理方向，引导我们去一步步进行代数变形，将一个位置的问题转化成我们可以解决的问题．

3。2  求数列的极限和有界性论文网

推论3。1[8]  对数列 ，若存在常数 ，使得一切 ，有 ，则 收敛． 

推论3。2[9]  设函数 是 到 的映射， 在 连续，且 ，那么 在 存在唯一的不动点．

    证明：由 Lagrange 中值定理，有  ，

由题设， ，根据定理2，结论成立．

定理3。4[12]设 是区间 到自身的一个映射，若 且 ，有 ，若 ， ， ，则 必收敛，且 

满足 ，即 即映射 在区间 上的唯一不动点．

例1[10] 求证：若 在区间 上可微， 且 ⑴

任取 ，令 ， ，…， ，…则           ， 为方程 的根（即 为 的不动点）．

证明：已知 ,设 

则

 （ 在 与 之间） 

由⑴ ，即 ．这就证明了：一切 ．

应用微分中值定理， 在 之间（从而 ）；

这表明 是压缩映射，所以 收敛．

因 连续，在 里取极限知 的极限为 的根．

例2[10]  设 ，令

 ，证明序列 收敛，并求其极限．

证明：考察函数           

 ，

易知， 是 到自身的映射．另一方面， 且 ，有

．

因为 ，  且 ，故         ，即 ．

因此， 是D到自身的压缩映射·

从而由定理3。3可得递推数列      ，                  收敛，

其极限为方程

的解，易解得

                        ．