基于安全首要的一类含消费效用最大化问题的实证分析(3)
2 预备知识
2.1 单边切比雪夫不等式
引理1（马尔可夫Markov不等式）：设X为只取非负值的随机变量, 数学期望 , 则对于任意正数 , 成立不等式:
.证明 构造随机变量
因为 ，所以 .
两边取数学期望有 ,
由此即得结论 .
引理2：设随机变量X的数学期望 ，方差 则对于任意正数 , 成立不等式:
.证明 对任意的实数 ，利用马尔可夫不等式，有
则 时 达到最小值，此时 ，
命题得证。
定理（单边切比雪夫不等式）：设随机变量X的数学期望 ，方差 ，则对于任意正数 ，成立不等式：
证明 因为 与 的期望都是0，方差都是 ，由引理2有
即知定理成立。（文献[8]）
2.2 动态规划
动态规划是运筹学的一个分支，它是解决一类多阶段决策问题的一种方法，它将多阶段决策问题转化为一系列比较简单的最优化问题。动态规划首先将复杂的问题分解成相互关联的若干阶段，每一个阶段都是最优化子问题，然后逐阶段进行决策，当所有阶段决策都确定了，整个问题的也就确定了。
2.2.1 基本概念和符号
阶段 在处理问题时，通常把所要求解的问题划分成若干个相互联系的小问题。原问题被看作一个过程，小问题就是过程的几个阶段。阶段往往按时间顺序划分，通常用t表示阶段变量，t取自然数1,2，…。
状态 表示某一阶段出发位置的状态，它既是上一阶段的输出又是本阶段的输入，并用向量 表示第t阶段的状态，称为状态变量。状态的取值都有一个范围，称为状态集合，记为 。
决策和策略 对于给定的最优化过程，决策就是某段状态给定以后，从该状态演变到下一阶段某状态的选择。描述决策的变量称为决策变量，用 表示第t阶段当状态处于 时的决策变量。决策变量一般都有一个允许取值的集合，称为允许决策集合，第t阶段的允许决策集合记为 .给定了某阶段的状态，选定了与此状态相应的决策，则下一阶段的状态就完全确定了，这就是所谓的决策过程的确定性。
指标函数和最优指标函数 在多阶段决策过程最优化问题中，指标函数是用来衡量所实现过程的优劣的一种数量指标，也称目标函数。常用 表示t子过程的指标函数，即
（2.2.1）
指标函数 的最优值，称为相应的最优指标函数，记为
（2.2.2）
其中opt表示取最优，可根据实际问题取最大（max）或最小（min）。
状态转移方程 在确定性决策过程中，可以把状态 、决策 ，以及下一阶段的状态 的对应关系表现为
该式就称为状态转移方程。
2.2.2 最优化原理和基本方程
动态规划的最优化原理是由美国贝尔曼（bellman）首先提出来的。具体叙述为：“作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。”
利用这个原理，可以把多阶段决策问题的求解过程看成是一个连续的递推过程，由后向前逐步推算。在求解时，在各阶段以前的状态和决策，对其后面的子问题来说，只不过相当于其初始条件而已，并不影响后面过程的最优策略。因此，可以把一个问题按阶段分解成许多相互联系的子问题，其中每一个子问题均是比原问题简单得多的优化问题，且每个子问题的求解仅利用它的下一阶段子问题的优化结果，这样依次求解，最后可求得原问题的最优解。于是，对于一个确定的离散T阶段决策过程，根据最优化原理，可以给出其动态规划的基本方程，也称动态规划递推关系。
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