2。 数学反例的概述

2。1。 数学反例的概念

按逻辑学上的描述，反例是相对于某个全称命题的概念，在数学、哲学等上都有重要的运用。具体表现在数学上，则可定义为：数学反例，指的是符合某个命题的题设而不符合这个命题结论的例子。在数学教学中，这些反例多来源于教师在教育实践中典型例题中的误解及对定义定理的错误认识，以帮助巩固学生所学知识中的薄弱环节。

2。2。 数学反例的类型

2。2。1。 基本形式反例

数学反例和数学命题是相生相辅的，而数学命题有四种基本形式：全称肯定判断（所有S都是P）、全称否定判断（所有S都不是P）、特称肯定判断（有S是P）、特称否定判断（有S不是P）。其中全称肯定判断与特称否定判断可以互为反例，全称否定判断与特称肯定判断可以互为反例。

2。2。2。 假言判断的反例

充分条件假言判断是断定某事件是另一事件充分条件的假言判断，用数学语言表示： 。即“有前者必有后者”，但是“没有前者不一定没有后者”，可举反例“没有前者却有后者”来说明。[6]

必要条件的假言判断是断定某事件是另一事件必要条件的假言判断，用数学语言表示： 。即“没有前者就没有后者”，但是“有了前者不一定有后者”，可举反例“有了前者没有后者”来说明。

2。2。3。 条件变化型反例

数学命题的条件改变时，结论不一定正确，为了说明这一点而举的反例称为条件变化型反例。条件变化有很多种，或减少条件，或增加条件，或变化条件。

2。3。 数学反例的作用文献综述

2。3。1。 判断猜想的正误

G·波利亚说：“类比和反例是获得发明的伟大源泉。通过类比使我们获得一系列的猜想，但当猜想实为谬误时，反例是最简捷的一种说明方法。”

例1  1940年前后费马计算观察发现：

当n=0时， 是个素数；

当n=1时， 是个素数；

当n=2时， 是个素数；

当n=3时， 是个素数；

当n=4时， 是个素数；

便宣称：对于任何0或正整数， 是素数。时隔100多年后，数学家欧拉举出反例：n=5时， 不是素数，因此否定了费马小定理的猜想。

2。3。2。 消除思维定势的有效方法

运用反例可以培养逆向思维甚至多向思维，树立数学推理须严谨性的观念。在许多情形下，构造一个恰当的反例比给出一个证明更需要想象力和创造力。[1]微积分创建初始，数学界曾长期错误认为：“连续函数除了个别点外总是处处可导”，但是1860年德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个“处处连续却处处不可导的函数”，这一反例震惊了数学界，给了思维定势传统观念致命一击。在教学过程中，教师由于做题经验的积累，会在教学中自觉不自觉地代入自己最习惯的解法，而学生会在这样的潜移默化影响之下产生一种思维定势，形成固定的思考模式，跳不出一成不变的解题方式，而此时恰当运用反例是一种很好的消除思维定势的方法，它要求从“求异”的角度思考虑问题，学生便可以据此拓展思维。

2。3。3。 推动数学的发展