考虑到环境中的随机干扰,假设环境中的干扰将会影响到食饵和捕食者的增长率:

 ,          ,

其中 是相互独立的布朗运动,  和 代表若干白噪声的强度。 另外,假设 , 则我们得到如下随机模型:

在确定性种群模型的研究中,模型的正平衡点及其稳定系是最优意思的问题之一。 系统(1。2)有三个平凡的平衡点

如果满足以下条件,则有一个内部平衡点,   (1。4)

特别地,若 , 则 , 。 此时条件(1。4)简化为  (1。5)                                                             

然而对于随机系统(1。3),其没有正平衡点。 在本文中我们将探索在时间平均意义下系统的稳定性。我们将会证明,若 , 且 ,则系统依时间平均稳定,且食饵种群、Leslie-Gower项在时间平均意义下是全局稳定的,即

 , 。 

另一方面,若 或者 ,我们将会证明系统不持久。 

在本文中(除非另有说明),我们令(Ω,F, ,P)是一个完整的概率空间且 满足一般条件,令 是定义在该概率空间上相互独立的标准布朗运动。

2。 正解的存在性与唯一性

在模型(1。3)中, , 分别代表 时刻食饵和捕食者的种群密度,因此我们只对它的正解感兴趣。 对于任意给定的初始值,为使一个随机微分方程有一个唯一的全局解,方程的系数一般都需要满足线性增长条件和局部Lipschitz条件(参见Arnold [24], Friedman [25], Mao[26])。 不过方程(1。3)的系数并不满足线性增长条件和局部Lipschitz条件。 在这一节中,通过改变方程中的变量和利用随机微分方程的比较定理[27],我们将会证明模型(1。3)正解的存在唯一性。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

引理2。1:对于任意初始值 ,模型(1。3)有一个唯一局部正解 , ,t∈[0, )。

证明:首先考虑方程组

 , ,t≥0。 显然方程(2。1)的系数满足局部Lipschitz条件。故其有唯一的局部解 , ,t∈[0, ),这里的 表示爆炸时间(参见Arnold [24], Friedman [25])。因此由Ito's公式易见  ,  是(1。3)是唯一局部正解。 证毕。 

引理2。1说明方程(1。3)有唯一局部正解,接下来我们证明该解也是全局正解。

因为解是正的,我们有:2。2)

则 是如下方程的唯一解 (2。3)

利用随机微分方程的比较定理可得  ,t∈[0, )。

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