摘 要：本文主要介绍了高斯消去法和矩阵三角分解法这两类直接求解线性方程组的数值解法，并阐述了它们的主要思想、具体解法以及解法各自的特点，最后给出了各解法的相关数值实例及分析．75692

毕业论文关键词：线性方程组，高斯消去法，三角分解法

Abstract：This paper introduces two kinds of directly solving linear equations numerical solution, There are Gauss elimination method and triangular matrix decomposition method。The main ideas, the specific solution and its characteristics are described in this paper,and the relevant numerical examples and analysis are given in this paper。

Keywords：Linear equations, Gauss elimination method, triangular matrix decomposition method 

目   录

1  引言  4

2  高斯消去法  4

2。1  高斯消去法  4

2。2  列主元消去法  6

2。3  数值实例  7

3  矩阵三角分解法  9

3。1  直接三角分解法  9

3。2  平方根法  11

3。3  追赶法  12

3。4  数值实例  13

结论  18

参考文献 19

致谢  20

1  引言

线性方程组的数值解法在数值分析课程中占有很重要的分量，其方法主要有两种，一是直接解法，二是迭代解法．本文将给出两类直接方法，然后对其主要思想、具体解法及它们各自的特点进行探讨，并给出数值实例及其分析来促进对线性方程组数值解法的理解．论文网

2  高斯消去法

2。 1  高斯顺序消去法

2。 1。 1  高斯顺序消去法的基本思想

设有线性方程组 

                                               (1)

或写成矩阵形式 

 ．

简记为 ．

把原线性方程组 的系数矩阵 和右端常数项 组成的增广矩阵 进行初等行变换化成上三角矩阵从而转化为求解简单方程组的问题．

2。 1。 2  高斯顺序消去法的具体解法 

将方程组(1)记为 ，其中， ， ．

    第一步 ，

 ．

其中，乘数 ，这时 ，而其它系数和右端有　

重复上述过程，有　

第 步 ，设上述第 步消元过程计算已经完成，即已计算好与(1)等价的方程组　

 ．

简记为 ，若 ：其中，乘数 ，这时， ，由 有其它系数和右端有 与 元素的计算公式　

 ，

继续上述过程，最后得到 ，当 时

                         ．                      (2)

方程组(1)到(2)为消元过程 ．文献综述

    如果 是非奇异矩阵，且 ，求解(2)得到求解公式　

                                 (3)

方程组(1)到(3)为回代过程 ．

综上可得　

　　定理1  设 ，其中 ．

　　1) 如果 ，则可通过高斯消去法将 约化为等价的三角形方程组(2)，且计算公式为　

　　　　a) 消元计算 

　　　　b) 回代计算

　　2) 如果 为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法将方程组 约化为(2)．

　　定理2  高斯消去法能进行到底的充要条件是系数矩阵 的各阶顺序主子式不为零．