排序不等式可以推导出很多有名的不等式，例如柯西不等式、切比雪夫不等式和平均值不等式等。运用排序不等式可以很方便地解决一些实际生活中的问题，在数学竞赛题中广泛应用，是高中数学竞赛大纲中要求的基本不等式。

1。2 研究的方法和内容

本文主要采用的研究方法有观察法、文献研究法以及内容分析法。

观察法：是指研究者根据一定的研究大纲和研究目的用自己的感官以及辅助工具去直接地观察被研究的对象，从而获得所需要的结果的一种方法。对于一道具体的数学竞赛题目，要对它进行仔细地观察分析，判断这道题是否能够运用柯西不等式、或者排序不等式来解决。

文献研究法：主要是指通过搜集文献资料，并且整理文献资料，同时通过对文献资料的研究形成对事实的科学认识的方法。本文主要是查阅与柯西不等式和排序不等式相关的期刊和书籍，进而把握这两个不等式在数学竞赛中应用的现状与历史。论文网

内容分析法：是一种对于所要研究的内容进行客观的、系统的以及定量的描述的研究方法。本文主要分析柯西不等式和排序不等式相关的文献资料，结合它们在数学竞赛中的广泛应用，进一步把这两个不等式应用到不同的题型当中。

通过收集和整理资料，本文将会给出三方面主要内容，第一部分是柯西不等式，主要论述柯西不等式的形式以及它一些重要的变式，柯西不等式的几种比较具有代表性的证明方法，重点论述的内容是柯西不等式在数学竞赛中的应用。第二部分是排序不等式，主要论述排序不等式的两种形式，排序不等式的证明方法以及用排序不等式证明其他重要不等式的举例，重点论述的内容是排序不等式在数学竞赛中的应用。第三部分主要论述在竞赛时遇到用柯西不等式和排序不等式来解题时主要用到的一些解题方法。

1。3 研究的目的和意义

通过对柯西不等式和排序不等式的研究，对参加数学竞赛的学生提供一定的经验以及参考价值，帮助他们能更好地了解竞赛中柯西不等式和排序不等式的题型以及解题技巧。

因为柯西不等式和排序不等式这两个不等式非常重要，所以通过对本文的研究，能够使学生进一步加深对这两个不等式的认识和理解，完善这两个不等式在数学竞赛中的应用。

通过对柯西不等式和排序不等式的研究，使学生感受数学文化，体会数学美，培养学生的数学思维，增强他们学习数学的兴趣，进一步提高解题的能力。

二、柯西不等式

2。1 柯西不等式的形式及其变式

柯西不等式  对于任意实数…，…，则有

当且仅当 （ 为常数）时等号成立。

为了方便使用，我们常把柯西不等式的形式写为

对于数学竞赛题，往往应用柯西不等式的变式可以使问题变得简单，主要有下面四种变式。

变式1  对于任意的则有

变形思路：在公式（2。1）中令就可得变式1。

变式2  设 同号且不为0，则有

变形思路：在公式（2。1）中用 替换用 替换就可得变式2。

变式3  对于任意的实数则有

当且仅当 时等号成立。

变形思路：在公式（2。1）中用 替换用 替换则有

两边同时除以就可得变式3。

变式4  设 同号且不为0，则有

当且仅当 时等号成立。

变形思路：在公式（2。1）中用 替换用 替换则有

两边同时除以就可得变式4。当 时，变式4就相当于 。

2。2 柯西不等式的证明