证明柯西不等式的方法有很多，在这里我就选择其中的两种方法，这两种证法都有一定的技巧与代表性。

证明1（数学归纳法证明） 

（ⅰ）当 时，有不等式成立；     当 时，

因为所以有当且仅当即 时等号成立。

（ⅱ）假设当 时不等式成立，即有

当且仅当 时等号成立。那么当 时，

当且仅当即 时等号成立。

于是 时，上述不等式也成立。

综上所述：由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于任意的自然数柯西不等式成立。

证明2（构造二次函数证明）当 或 时，不等式显然成立；文献综述

令当…， 中至少有一个不为零时，可以知道下面构造二次函数

展开可以得到：所以 的判别式为

移项，可得：故得证。

2。3 柯西不等式在数学竞赛中的应用

在数学竞赛中，柯西不等式应用地非常广泛。下面我将以一部分数学竞赛中的试题为例，分析讨论研究柯西不等式在求值、解方程或方程组、证明不等式、解三角问题以及求变量的取值范围等方面的应用。

2。3。1 求值

例1（2006年全国高中数学联赛浙江省预赛试题） 设 是非零实数，若则 _______。

解：根据柯西不等式，可得：

即当且仅当 时，上式等号成立，即有又有

可解得：所以有 。

例2（2014年全国高中数学联赛陕西预赛试题）若实数 满足求 的值。

解法1：由题意可得：由均值不等式，可得： 所以有来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

  即  所以可得即 。 从而可以联立方程组 解得：

 所以可得：解法2：由题意可得：变形，可得：  所以可得： 即     所以可得：解法3：由柯西不等式，可得：    由题意可知，上式左边=36=右边=36，所以上式只能取等号，而柯西不等式等号成立的条件为