6。1 随机变量序列部分和的几乎必然收敛性 21

6。2 随机变量序列部分和的几乎必然收敛等价于依概率收敛 23

6。3 随机变量序列部分和的依概率收敛等价于依分布收敛 24

6。4 随机变量序列和的 r-阶收敛 25

7 随机变量序列收敛的速度问题 27

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结论 28

致谢 29

参考文献 30

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1 引言

在概率论中，定义 为样本空间，F  是 上的-域，P 是 F  上的概率测度，则 (,F，P）

是概率空间，设 X:R 是 上的函数，且对于 x R ,{X x} {: X() x}F 则称 X

是随机变量[18]，随机变量形成的序列就叫做随机变量序列。我们学过的初等概率论主要是研 究随机变量的概率分布和数字特征，尽管也涉及到一些随机变量序列的收敛性，例如弱大数 定理中的依概率收敛，但是却没有对随机变量序列的收敛性做出明确的定义。即便有的概率 论教材中，提到了随机变量序列的收敛性，但总是把它作为概率极限理论的先行知识，并未 对其做系统完整的介绍。

在数学分析中，我们学习了与数列的各种收敛性有关的极限理论。在概率论中，大数定 理和中心极限定理都对概率论的进一步发展产生了巨大的促进作用，而它们的产生都离不开 随机变量序列的收敛性。因此在概率论中，随机变量序列的收敛性对于研究概率极限理论也 是十分重要的。 但随机变量序列的收敛性相对于一般数列而言具有不确定性，因此对它的研 究需要在更弱的条件下进行，在不同的条件下，随机变量序列的收敛性有不同的形式，不同 的形式之间既有区别也有联系[9]。关于随机变量序列收敛性的研究多基于几乎必然收敛，依 概率收敛，依分布收敛，和 r-阶收敛这四种。

本文大致分为两个部分：第一部分论述了随机变量序列的几乎必然收敛，依概率收敛， 依分布收敛和 r-收敛的定义和等价定义，以及这四种收敛性之间的相互关系；还论证梳理了 依概率收敛在弱大数定理和估计量一致性，几乎必然收敛在强大数定理，依分布收敛性在中 心极限定理的应用。第二部分研究了随机变量序列部分和的收敛性，并证明了随机变量序列 部分和的几乎必然收敛，依概率收敛和依分布收敛之间的等价性。最后讨论了随机变量序列 收敛的速度问题。

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2 几乎必然收敛、依概率收敛、依分布收敛、r-阶收敛的定义

首先，设 Xn (), n 1, 2, 及 X () 是概率空间 (,F , P) 上的随机变量,为方便之后都记作 Xn 和 X 。

2。1 几乎必然收敛[1]如果有 p( l imXn 

1， 称随机变量序列 Xn  几乎必然收敛到随机变量 X  ，记 

limXn  X (a 。s 。，为方便记作