显然，若 F1 (x1 ),。。。, FN (xN ) 是一元分布函数，令 un Fn (xn ) 是一随机变量，则 C 是具有边 缘分布函数 F1 (x1 ),。。。, FN (xN ) 的分布多元函数 C(F1 (x1 ),。。。, Fn (xn ),。。。, FN (xN )) 。

定义 满足以下性质的函数 C(u,v)我们定义为二维 Copula 函数: (1)C(u,v)的定义域为[0,1]×[0,1];

(2)C(u,v)二维递增，并且有零基面;

(3)对任意的 u，v[0,1],满足 C（u,1）=u 和 C(1，v)=v。

假设 F(x)、G（y）是一元随机变量 X,Y 的连续分布函数，令 u=F(x),v=G(y)，

u，v 均服从[0,1]上的均匀分布，则 C（u,v）是一个边缘分布均为[0,1]上均匀分布的二元联 合分布函数，规定定义域内任一点，都能使 0≤C（u，v）≤1 成立。

Copula 函数具有优良的性质，可以灵活地选择边缘分布的形式，对于严格单调递增变化 都不会改变，是基于 Copula 函数导出的相关性和一致性测度的原因。

2。1。2 Sklar 定理

给定 F 为联合分布函数 F1 (x1 ),。。。, FN (xN ) ，它具有边缘分布，假设它存在一个 Copula 函数

C，符合下面的情况：

F (x1 ,。。。, xn ,。。。, xN ) C(F1 (x1 ),。。。, Fn (xn ),。。。, FN (xN ))

若边际分布函数 F 连续，则 C 唯一；反之，如果满足上面公式，F 一定是具有给定边缘分布 的联合分布函数。

通过边缘分布密度函数 c (F1 (x1 ),。。。, FN (xN )) 和 Copula 函数 C 的，可以求出 N 元分布函数

F1 (x1 ),。。。, FN (xN ) 的密度函数

Nf (x1 ,。。。, xn ,。。。, xN ) c(F1 (x1 ),。。。, Fn (xn ),。。。, FN (xN )) fn (xn )

n1

其中 c(u1 ,。。。, un ,。。。, uN ) 

C(u1 ,。。。, un ,。。。, uN )

u1 ,。。。, un ,。。。, uN

; fn (xn ) 是边缘分布Fn (xn )

的密度函数。

式子（1。2）可以得出，如果变量间的关系独立而且不相关的，那么我们可以得到 Copula 函数也是独立而且不相关的。如果存在非独立不相关的变量间的关系，则 Copula 函数表示的 就是变量间的相关结构。

由此可得，Copula 函数可以通过分布函数的联合分布函数和逆函数求出，而通过 Copula 函数能分开研究变量间的相关结构和边际分布，可以使得多变量概率模型的分析难度变低。

2。2 常用的 Copula 函数

Copula 主要有两大类：椭圆 Copula 类和阿基米德 Copula 类。

2。2。1 极值 Copula 函数

如果满足以下性质的那么我们把这个 Copula 函数称为极值 Copula 函数：

2。2。2 阿基米德 Copula 函数

如果一个生成元：[0,1] [0, ],Copula 函数的具体表达式为： C（ u , u ,。。。, u ）=（-1  （u ）(u ) 。。。 (u )）

是一个连续的凸函数且严格单调递减， （0）1 ,且生成元满足以下条件：

2。2。3 椭圆 Copula 函数

（一）正态 Copula 函数:它的分布函数和概率密度函数分别为：

-1 1 1

是对称矩的正定矩阵，它的对角线元素是 1， 是 对应的行列式值；相关系数矩阵为

的（·）是标准的正态分布函数，n (1 ,2 ,。。。,n )', I 是单位矩阵。 一般情况下，两个变量的相关结构能很好地被二元正态 Copula 函数刻画出来，所以，常