假设有任意矩阵 A  Rmn ，如果可以找到一个秩为 r 的矩阵 Aˆ  ，并且满足论文网

，那么低秩矩阵 Aˆ 就是矩阵 A 的

一个最佳低秩逼近。其中，矩阵类 可以是 Rmn 上由任意矩阵构成的矩阵类， 也可以是 Rmn 中具有特定结构的矩阵所构成的集合。

1。2 矩阵低秩

在现实生活中，我们无法保证接收到的信息不被潜在因素所影响，因此观测 到的信息数据经常会出现高度的冗余性。不可否认，这些重复度较高的冗余信息 的确可以有助于信息接收者更准确地识别信息，但与此同时，也给数据的处理过 程增加了不可估量的难度。文献[2] 指出了在某种条件下高维矩阵的冗余数据可以 去除。在计算某个高维数据矩阵 A Rmn 的最佳低秩逼近后，也就去除了很多冗 余信息。矩阵低秩逼近的过程就是希望用一个低秩矩阵去逼近原始的高维矩阵， 并且要求得到的低秩矩阵尽可能多的包含原始矩阵中的有效数据。低秩矩阵逼近

就好像是一个筛子，从原始矩阵数据中提取有效且有用的信息，过滤掉那些作用 不大的信息。通过降低高维数据矩阵的秩，不仅节省存储空间而且还节约了计算 时间。

我们举一个例子来形象地描述矩阵降维的好处，假设现在有一个表示关于用 户与用户对不同种物品喜爱程度的高维矩阵，它的每一行数据表示某一个用户对 所有不同物品的喜爱程度。但事实上，很多用户的兴趣爱好是非常相似的，或者 说某个物品与另一个物品之间也存着很大的相似性。用通俗的语言可以认为这个 高维矩阵可以表达得更紧凑一些，也就是说把那些相近的内容压缩一下。这样就 可以推断大多数人对这些物品的喜好，可以大致分为 K 个类。用数学的语言来说 就是通过将这个高维矩阵降维，可以得到一个信息更为紧凑且重复度较低的低维 矩阵。

一般情况下，如果要用某个低秩矩阵对高维矩阵 A 进行逼近，那么首先要对 矩阵 A 奇异值分解，然后去除掉一些数值很小的奇异值。但是，如果将这种逼近 方法运用到实际问题中，就会发现，在这个过程中存在着相当大的困难，无法解 决问题。因为我们不能保证去除掉的奇异值是否足够小，以至于对原始矩阵的影 响很小。同时，对高维矩阵进行奇异值分解，这个计算过程也是相当复杂的。因 此，如何准确地去除掉那些对原始矩阵作用很小的奇异值就是一个难题。而本文 正是希望可以利用某种统计方法有效地来解决这个问题，并将这种方法用到去除 图像噪声的实际问题中去。

2 矩阵逼近在图像去噪中的应用

2。1 图像去噪的研究背景

当下，图像是人类活动中最常见的信息载体。通过图像，人们可以非常直观 的看到其包含的信息。因为这个特点，人们普遍喜欢通过图像来获取信息。图像 的确是可以将大量的信息很好地传递给信息接收者，但是，图像难免会受到一些 来自外界的噪声干扰并受到影响，从而使得图像质量下降，有时甚至会导致无法 精准地反映图像的信息。比如在图像拍摄、图像采样、图像传输和图像存贮等一 系列的过程中，原始图像经常会受到噪声的污染。随着大家对图像信息的依赖性 不断提高，如何通过图像去噪来恢复原始图像成为一个课题。在对图像进行去噪 以后，可以减少噪声对原始图像造成的影响，在一定程度上改善图像质量。由于 图像的应用在生活中越来越广泛，因此，图像信息的质量问题也就越来越被重视。 但是，图像经常会受到各式各样的噪声影响，图像所反映的信息也就受到了相应 的损害，因此，有效的对图像进行去噪显得愈发重要。文献综述