等价无穷小及其在求极限中的应用(3)
2.1.3 实践是检验真理的唯一标准
应该承认，贝克莱的责难是击中要害的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其他数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，虽然不能有力地反驳贝克莱的责难，但人们仍然不大赞成贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准”
2.2 危机的实质
第一次数学危机的实质是“ 不是有理数，而是无理数；数系需要扩充”。那么第二次数学危机的实质是什么呢？应该说，第二次数学危机的实质是“极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固”。
其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比。例如（*）式中的 ，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。牛顿在这里虽然提出和使用了“极限”，但并没有严格意义下说清楚这个词的意思。
德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但也没有明确给出了极限的定义。正因为如此，此后一百多年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的逻辑基础。
2.3 危机的解决
2.3.1 必要性
微积分虽然仍然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。且随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，作出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础，数学家们在有限和无限之间任意通行。例如，不考虑无穷级数收敛的问题，也照常进行无穷级数的计算。
因此，进入19世纪时，一方面，微积分取得的成就令人鼓舞；另一方面，微积分缺乏严密的逻辑基础，从而不能保证数学结论是正确无误的。
历史要求为微积分学说奠基。
2.3.2 严格的极限理论的建立
到19世纪，一批杰出数学家辛勤地工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。
应该指出，严格的极限理论的建立是一个逐步的、漫长的过程。虽然18世纪人们几经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。
达朗贝尔（Jean Le Rond d’Alembert,1717-1783）在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。
19世纪初，捷克数学家波尔查诺（B.Boolzano,1781-1848）开始将严格的论证引入数学分析，他写的《无穷的悖论》一书中包含许多真知灼见。而作出决定性工作，可称为分析学奠基人的是法国数学家柯西（A.L.Canchy,1789-1857）.他在1821年—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。他给出极限比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已于我们现在的课本上的叙述差不太多了。
2.3.3 严格的实数理论的建立
后来的一些发现使人们认识到，极限理论的进一步严格化需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析是在实数范围内研究的。但是，下边两件事表明，极限概念、连续性、可导性和收敛性对实数系的依赖比人们原来想象的要深奥得多。
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