第三章 一类常微分方程的特殊解法：状态空间法11 3。1 状态空间法简述-11 

3。2 状态空间法的基本概念-11 

3。3 状态空间的表达式的建立--13 

第四章  实际应用-15 

4。1 状态空间法的应用--15 

4。2 小结--18 

结论19 

致谢20 

参考文献 21

第一章  绪论 

1。1   前言 

作为用来对自然界进行描述的一类数学工具，函数关系在数学领域中有着很是重 要的地位，自然界中事物的变化规律以及运动规则往往用符合某些约束条件的未知函 数来表示。研究人员将这种未知函数、未知函数的导数和自变量关系共同存在的方程 定义为微分方程[1]。 

数学和化学等学科中有着大量的问题，这些问题其实从本质上来讲都是基于微分 方程的研究。这一类学科的快速发展，促进了微分方程以及相关的研究理论的发展与 进步。 

常微分方程这种概念是与微分方程相对，它是用来表示未知函数和一个自变量之 间的关系。常微分方程是微分方程领域的基础，也是微分方程的一个很重要分支， 常微分方程能够用来描述数学、金融学、自然科学和工程学等研究领域的众多的

原理以及过程，它还有着十分广泛的实际运用，各种电子设备的设计、弹道的计算、 化学工业的过程、人口与经济的变化、自动控制等，很多的问题都可以变化成与之相 对应的常微分方程，然后再对这些方程的性质、规律进行研究和分析。常微分方程紧 密的联系着实际问题，关系到人们生活和工作的各个方面，当今社会，计算机软件的 快速发展也给常微分方程的相关研究提供了一个便捷的工具，对常微分方程相关的各 种理论以及方法深入研究是必须进行的工作，常微分方程的相关理论已经适用在了生 活、工业、科研等很多的地方。可是，现有的微分方程的理论依旧无法满足实际应用 的要求，需要更进一步的发展。因此，常微分方程的研究是需要我们与时代共同前进， 然后不断根据实际需求，将研究深入下去。 论文网

常微分方程的学术领域中做出过巨大贡献的我国著名数学家秦元勋先生说 过:“常微分方程，一个有着很长的历史，一个充满生命力正在蓬勃发展的学科；是 一个理论研究意义和实际应用价位共存的学科；是一个既得力于其他数学分支的支持， 又为其他数学分支服务的学科；是一个表现客观自然规律的工具学科，又是一个数学 可以为实际服务的学科”[2]。 

我们在对题目进行研究的过程中，往往要运用微分方程来进行将问题抽象后建立 数学模型，这一类数学模型的建立过程一般都依照这些规则： 

1) 从现实的问题之中取得相对应的各种数据信息。 

2) 对现实问题进行分析，找出与其对应的数学题目，然后将实际问题根据函数 关系变换到数学模型，也就是构建一个微分方程。 

3) 求解构建出的微分方程，获得对应的解析解或数值解，对微分方程的结构进 行分析，然后确定微分方程的相应性质。 

4) 依照得到的结果来阐述现实的问题，预测问题的变化的趋向，再者是添加输 入变量从达到掌控现实问题的目的。 

常微分方程的发展历史可以简要的分成这样的部分：十七世纪末到十八世纪；十 九世纪初期以及中期；十九世纪末和二十世纪初，二十世纪之后。 

十七世纪末到十八世纪，常微分方程理论从各种研究中发展出现。常微分方程的 研究核心在于解出其通解，并写出相应的表达式。可是因为众多的影响因素，研究人 员渐渐摒弃了这种设想。首先，大部分的微分方程没有办法求出通解。在一阶的常微 分方程中，分离变量可以帮助我们来解出通解，然而在通常的条件之下，微分方程的 变量是不能分离的。就任意阶数的常系数线性微分方程而言，如果它是齐次的，那么 可以通过将方程转化为相对应的任意阶代数方程，然后得出特征根，如果是非齐次的， 就要先获得相应的通解，接下来使用常数变异，解得非齐次微分方程的特解，之后将 这方程的特解加上通解，然而符合常系数和线性条件的微分方程通常可以借助平衡点 近似等方法获得，不具有一般性。就一般的非线性微分方程来说，很少有能通过上述 方法获得通解。为了对高阶的微分方程进行求解，通常会把方程转化成一阶方程组这 种类型，也就是未知变量和方程的个数等同，这种方法对部分题目有用，但是对求通 解而言没有什么意义。纵然研究出了通解，可是却找不到通解在实际的问题中适合的 意义，这降低了通解的实用性。而且大部分的现实问题都有着明确的定解条件，不需 要花费巨大的精力求没有实际作用的通解，只要根据已经拥有的信息求出满足条件的 解就可以了。