1。2 单摆问题研究思想

在具体研究单摆问题之前，有一些思想的前提需要理清。 首先要搞清楚，所谓对物理系统的“理解”是什么意思？就是当我们面对这

个系统发生疑问的时候，如果能通过分析和计算使你的疑问得到满意的解答，就 算对这个物理对象“理解”了。因此，我们要不断地提问，然后设法解答；提的 问题越多，得到的解答越多，理解就越深刻。

其次，也要搞清楚，所谓“解答”，不过是对“物理对象的数学模型”所给 出的解答，未必是对真实物体性能状态的解答，这中间的差别有多大，要看模型 接近真实系统的程度，不可一概而论。即便模型是简化的，若是计算结果有助于

加深对系统的定性理解，也是值得去做的[2]。

1。3 单摆问题最简单模型

就单摆来说，我们提出它的最简单模型是： 摆球在均匀的重力场里运动；摆球没有体积，不受空气阻力的作用，除了重

力和线的拉力，摆球不再受其他力的作用；线不可伸缩，没有质量，也不受空气 阻力；最后，把地球当作一个“惯性参考系”，摆球是在一个竖直的平面内往复 运动。

在此基础上再添加其他因素，例如添加空气或液体的阻力，可以将细线改成 弹簧，可以将两个摆球通过某种方式的连接组成复合摆，令单摆倒立，考虑地球 的自转，等等。模型越复杂，摆球的运动方式也就越发表现出丰富多彩。

支配单摆系统运动的动力学是牛顿运动理论，其核心是牛顿第二定律

其中， F 是摆球受的合力； m 是摆球的质量； d 2r / dt 2 是摆球的加速度[3]。 在各种力的作用下，单摆运动方程可以根据情况做各种变化，既可以按普通

的直角坐标系来建立方程，也可以按径向和切向来建立方程。坐标的表示变化了， 力的分解方式也要相应的变化。

第二章 单摆方程的推导

现在就开始对最简单的单摆模型寻求解答，我们希望知道的是：单摆究竟随 时间作怎样的运动？比如，某一时刻摆球处在什么位置？摆球的往复运动是等周 期的吗？周期是多少？周期与什么因素有关？等等。这些问题在中学里就提出过， 也研究过。现在，我们从头再来，但用的是数值计算方法，看看对问题的理解是 否更深入了？

要解答以上问题，就需要建立摆球的具体运动方程，不能用公式（1-1）来 笼统地回答。

根据前面的模型假设，因摆线不可伸缩，，因此摆球没有沿摆线长度方向的 “径向运动”，只有垂直于摆线方向的“切向运动”。

摆球只受两个力的作用：沿摆线斜向上的拉力 T 和向下的重力 mg ， g 是重

力加速度。前者对切向运动无贡献，后者则在切向有一个分力。如果一开始就对 图 1 中的摆角做这样的规定：中间竖向摆角为零，向右为正，向左为负，切向 正方向是摆角增大的方向，则重力的切向分力为

Gmg sin(t)

摆角已经表示成为时间 t 的函数。根据圆周运动的知识，摆球的切向速度为

其中，' (t) 为角速度； L 是摆线长度。根据牛顿定律，有下面的运动方程

即 mL'' (t) mg sin(t)

消去摆球的质量 m ，得到单摆的最简单运动方程为

方程（2-1）描写了摆角(t) 随时间变化的一般规律，是一个二阶的微分方 程。如果解出了(t) ，则不仅知道了各个时刻单摆的位置，而且还可以知道它的 速度和加速度等信息。因此，求解方程（2-1）是了解单摆如何运动的关键[4]。文献综述