数学和积分方程还有别的分支，譬如，位势理论、复分析、计算数学、随机分析、泛函分析和微分方程等全部具有密不可分的关系。而且它的提出和变化发展是许多基础的数学概念和思路的最基本模型和来源。比方说，对一般线性算子理论的形成，对泛函分析中平均收敛、算子、平方可积函数等的建立，甚至它对整个泛函分析的创立都有非常巨大的引导。在积分方程理论中，有很多的思路和解法，比如说，弗雷德霍姆理论，就是关于第二种弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程的。还有诺特(Noether)理论中的奇异积分方程以及逐次逼近方法，它自身就是数学中优美而经典的思想和做法之一。

    1。2  Abel积分方程

     Abel积分方程或Abel变换在地震学、光谱学、力学等散射理论及离子物理等许多科学研究上有着巨大的作用。通过学习Abel积分方程的数值解法，可以更好的对这些行业的发展和工作做出巨大贡献。论文网

    关于Abel积分方程，有很多种定义和形式。下面我们先介绍一种：形如

。                           （1。2。1）

这种形式的积分方程，叫做广义的Abel方程，简要的称为Abel方程，其中0<<1。当时，式（1。2。1）成为

。                     （1。2。2）

1823年，Abel讨论了等时曲线问题，即Abel问题时，首先引出了形如(1。2。2)的积分方程，并用两种方法求出了它的解，Abel方程因此得名。

Abel方程（1。1。1）是一种特殊的第一类Volterra方程，求积公式中它的核在积分上限有弱奇性。

    Abel方程（1。1。1）的解，可以用公式表出。此结论可由下面的定理来表述：

 定理4。3。1 设Abel方程的自由项连续可微，且，则它有唯一的连续解

。                 （1。2。3）

然而，在许多实验中，很少有人在其中研究积分方程。所以，对于Abel积分，我们是计算精度有着很大的问题，这也是本文需要着重研究的。它的数值解法有许多种，比如正则化方法，函数插值法，利用反演公式反推的方法，数值逼近法等。

而本文主要运用函数插值的方法来求解如下形式的Abel积分方程：

。的逆变换，也就是根据函数求解，即

。该问题产生于电弧等离子温度场中，并且函数是以节点形式给出的，因此本文考虑用牛顿插值，拉格朗日插值和样条插值三种函数插值来逼近，进而计算出。

1。3 论文的主要工作

通过查找文献期刊以及向老师请教，主要研究了以下内容：

1。 函数插值的基本概念；

2。 函数插值的计算方法；

3。 函数插值求解阿贝尔积分方程；

4。 应用举例。

第二章 插值函数及其应用

2。1 插值函数的基本概念

    在这章，我们主要探讨如何计算函数值的一些问题。事实上，就算函数在区间上存在，但是因为函数关系的复杂性，准确的解析表达式是很难得到的。例如，运用测量或实验获得某些数据，即测量得到的值和自变量的一些点对应的函数值(即得到一张对应的函数表)，要得到没有测量到的点的函数值。我们想要根据测量数据构成一个不仅能表现出特征且便于计算的函数取代，这也是本章要研究的插值法。下面，我们给出具体的插值法定义。

设函数是定义在区间上的，是上取定的个互异点，且仅仅在这些点处函数值为已知，要构造一个函数，