2 数学建模解决高考应用题的数学模型论文网

 所谓数学应用题就是指带有一定的生活、生产实际背景的数量化问题。综合分析这几年的全国高考数学应用题，可以从下面三方面去着手：

  1）直接运用题目中的公式；

  2）利用现有的数学模型对问题做定量分析；

  3）综合经过抽象加工的各要素之间的数量，建立数学模型。

2。1 有关函数模型

函数模型是高考数学应用题中较为常见的一种模型。常见的函数模型包括二次函数模型，导数函数模型，对数函数模型，指数函数模型等等，而函数模型经常涉及到成本、利润以及关于效益、价格、面积、体积等实际问题。解答这类问题要利用数量关系，列出目标函数式，然后用函数的有关知识和方法加以解决，建立量与量的函数关系成为解题的关键，一旦函数关系建立立即可用函数知识解决。

例1 某工厂生产某种商品，固定成本为20000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R（总收益是总成本与总利润的和，单位：元）是年产量Q（单位：件）的函数，满足关系式：

（1）将利润L元表示为Q的函数；

（2）求每年生产多少件产品时，总利润最大?此时总利润是多少元?

    分析 本题是典型的一、二次函数模型应用题，考查了一、二次函数的性质以及它的运用等。本题要注意分清固定成本，生产一件产品时成本增加量，总成本的意义；总收益R是总成本和总利润的和。弄清关系后，才能列出有关的函数关系式。

     解析 （1）由题意得总的成本=20000+100Q，从而可以得到总利润

   （2）由总利润的关系式可以看出此函数为分段函数，所以要分情况讨论，当时，该函数为二次函数，于是可以化为，所以可以得到当Q=300时，此函数有最大值，最大值为25000元。当Q>400时，此函数为一次函数且为减函数，所以当Q=400时，此函数有最大值，最大值为20000元。综合上述比较，知每年生产300件产品时，总的利润最大，最大利润为25000元。

    评析 本题是直接利用题目中的公式以成本利益为背景的一、二次函数模型。通过总利润与年产量的函数关系式利用二次函数的有关知识进而求得最大值，要想正确地求解必须写对函数关系式。

例2 某工厂厂区与职工宿舍小区相距15千米，工厂班车每天早晚接送职工上下班，接送成本由燃料费用和其他费用组成。若班车匀速行驶，已知该班车每小时的燃料费用与其行驶速度的平方成正比，比例系数为0。5，其他费用为每小时元，根据市场调研，得知的波动区间是[1000,1600]，且该班车的最大行驶速度为50千米/小时。

（1）请将每天上下班接送职工的班车接送成本（元）表示为行驶速度（千米/小时）的函数；文献综述

（2）要使每天上下班接送职工的班车的接送成本最少，该班车应以多大的速度行驶?

分析 本题是典型的导数模型应用题，主要考查函数的性质、导数的运用等知识，解题的方法就是利用导数求解极值，意在考查数学应用知识和数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题能力。

解析 （1）先由题意求得接送职工所用的燃料费用和其他费用，然后求和就可以求出，即

   （2）先由条件求出函数的导函数，导函数，再利用导函数的知识求出最小时的值。

评析 本题是以接送职工的成本这一现实问题为背景，通过建立接送成本与行驶速度的函数关系，进而用导数的知识求得最值。不难看出，只要建立正确的函数解析式，求解并不复杂。