第二章 基础知识介绍

2。1 线性代数

2。1。1 线性代数的概念介绍

线性代数是数学的分支之一，它研究的是向量，向量空间，线性变换以及有限 维的线性方程组。抽象代数、泛函分析等问题中，线性代数被广泛的运用；解析几何 很好的具体表示了线性代数。现在的算子理论就是由线性代数泛化出来的。因为科学 研究中的非线性模型在一般情况下可以被看作为线性模型，所以在自然科学和社会科 学中线性代数得以被应用的很多。现在的教学活动中，线性代数课程不仅是理工类， 还是经管类数学教学课程中非常重要的内容。

2。1。2 线性代数的发展历史

由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪[1]。直到十八世纪末， 线性代数的领域还只限于平面与空间,n 维向量空间的过渡一直到十九世纪上半叶才 完成，矩阵论是凯莱创立的，到了十九世纪的下半叶，若当的工作使其达到了顶点[1]。 1888 年，皮亚诺定义了有限维或无限维向量空间，他采用的是定义公理的形式,因为 线性代数的每一个概念可以说或多或少都与矩阵有着密切关系，所以矩阵的意义从某 种意义上来说与线性代数的意义相同[1]。而将线性代数的主要定理推广到任意体上的 最一般的向量空间中是托普利茨所做出的贡献。线性映射的概念在大多数情况下能够 摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择[1]。文献综述

2。1。3 线性代数的发展现状及其基本功能

现代线性代数已经扩张到对于空间维度没有限制，基本内容是研究向量空间，研 究过程中以矩阵为工具。主要研究内容分为两部分：一部分是所运用的基本工具，如 行列式、矩阵、线性方程组等；另一部分研究的是线性空间的代数结构。线性代数科 学技术的许多领域得到很多的运用。尤其是计算机更新越来越快，越来越深入大众生 活的今天，线性代数也成为理工科学生学习所必需的基础知识和运用最多的数学工具。 线性代数是为培养现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

2。2 矩阵及其初等变换

2。2。1 矩阵及其初等变换概念介绍

矩阵就是由方程组的系数以及常数而构成的方阵，矩阵常见于线性代数、线性规 划、统计分析，以及组合数学等。

在线性代数中，矩阵的初等变换包括下面三种变换类型 : (1) 交换矩阵的两行(列);

(2) 以一个非零数 k 乘以矩阵中的某一行(列);

(3) 把矩阵中的一行(列)的 z 倍加到另一行(列)上。 初等变换在线性代数中的更重要的作用在下面几点得到很好的体现:求行列式的

值，求矩阵的行阶梯形矩阵及其最简形矩阵，求逆矩阵，矩阵的秩，求解线性方程组 等。

2。2。2 矩阵及其初等变换的发展历史

英国数学家凯莱 一般被公认为是矩阵论的创立者[2]。因为他首先把矩阵作为一 个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章,凯莱同研究线 性变换下的不变量相结合[2]。首先引进矩阵以简化记号[2]。 1858 年，他发表了关于 这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论[2]。

在矩阵论的发展过程中，弗罗伯纽斯做出了很大的贡献,他研究了最小多项式的 问题，引进了很多的概念，例如矩阵的秩、初等因子、不变因子、矩阵的相似变换， 以及正交矩阵、合同矩阵等等，以正确的的方式提出整理了不变因子和初等因子的概 念和理解，而且阐述了正交矩阵以及合同矩阵的一些很重要的性质。 傅立叶、西尔 和庞加莱的著作中开始了对于无限阶矩阵问题的探讨，其开始于方程的研究和发展需 要。来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-