矩阵的初等变换及其应用(2)
常有的应用包括初等变换在求矩阵的逆、求矩阵的秩、解线性方程组时的核心作用；
因此，矩阵的初等变换是矩阵理论的核心[1]
。从而就有必要来研究矩阵的初等变换及
其应用。
1.2 本文的工作及结构的安排
先归纳《高等代数》中所学习的部分矩阵知识，再归纳矩阵的初等变换的定义，
性质以及相关的定理。并对部分定理给予证明。最后总结了矩阵的初等变换在高等代
数、线性代数以及初等数论等相关数学学科中的应用，并给出一些具体的例子。
2 矩阵的初等变换
2.1 矩阵的定义
按照高等代数课本上说的矩阵定义：“矩阵就是由 m 行 n 列数放在一起组成的数
学对象。”其规范的数学定义如下：
定义 1 由mn个数排成的 m行（横的）n 列（纵的）的表 称为一个mn 矩阵。
矩阵的定义充分反应了数学的特点—抽象性。我们学习时就要反其道而行之，将
其具体化：看看它能表示什么。这样就能让矩阵这个概念变得有血有肉，变得具体。
看到这一块数字我们能想到什么呢?回忆一下高等代数中的内容可得到：矩阵可用于
表述线性方程组 的系数矩阵， 可记为AX b
； 矩 阵 可 用 于 表 示 二 次 型
；矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在
一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个
确定的矩阵来加以描述，同样对于给定的一个矩阵，一定可以找到一个对应的线性变
换。线性方程组、二次型以及线性变换这三个似乎完全不相关的东西却都能用矩阵这
个看着不起眼的数学对象来描述和研究。可能这就是高等代数的美丽所在。虽然矩阵
这块数字看着很单调乏，却携带线性方程组、二次型以及线性变换所要表示对象的
信息，矩阵的定义有着深刻的内涵。
2.2 矩阵初等变换的来源追溯和定义
在高等代数里我们常遇到变换这个概念。学过的变换有初等变换、合同变换、相
似变换以及线性变换等。我们先来解释一下这个正牌的数学术语——变换。所谓变换，
其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的运动。这个“运
动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在 A
点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了 B点，其中不需要经过 A点与B点之
间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。人
类的经验里，运动是一个连续过程，从 A点到 B点，就算走得最快的光，也是需要一
个时间来逐点地经过 AB 之间的路径。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指
出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种
跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。
初等变换的空间指元素属于数域 P的mn
的矩阵所构成的线性空间。例如我们可以将一个2 n
阶矩阵看成是一个由哪个列向量组成的平面图形。二阶方阵与这个矩阵相乘
得到一个新的点集图形。因此，二阶方阵与某矩阵相乘的几何意义是将一个平面图形
变换为另一个平面图形。这是从几何直观来理解变换。而对于高阶方阵的变换只不过
是将相应空间里的一个元素变换到其他空间（或者自身空间）的元素。
说矩阵的初等变换还得先谈谈线性方程组的初等变换。解线性方程组的问题是线性代数的起源之一[1]
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