满足上述方程和初始条件的解。我们假设q1,q2是连续的，则

利用逐步逼近的方法（后文会证明逐步逼近法的正确性），求出上述方程有唯一连续的解。事实上，令

得到级数是一致收敛的，方程有解且解为r(,)rn(,)，进一步有

n0

R(x,y;x0,y0)r(xy,xy)。

所以本节一开始提出的柯西问题是有古典解的。

2。3转换算子

2。3。1一类Sturm-Liouville微分方程

考虑下面Sturm-Liouville微分方程

yq(x)y2y0。（2。3。1。1）

函数区间为

(a,a) (a),

q(x)取值在复数域。函数在该区间连续，是一个复数。

将这个方程看作算子L(d2/dx2)q(x)作用，可以看出2是该算子的特征值。令

e0(,x)表示上述方程满足下列初始条件的解来:自[优.尔]论,文-网www.youerw.com +QQ752018766-

e(,0)1,e(,0)i。（2。3。1。2）

容易看出若q(x)0,方程的解很容易就能得到是eix，设函数u(x,y)eixe(,y)二阶连续可微，联立Sturm-Liouville微分方程可得

uxxuyyq(y)u,

利用上面的结论可得

u(x,0)eix,u

(x,0)ieix(eix)。

eix0e(,y)e

令x00,并且令

i(x0y0)1x0y0x0y0

{R(x,0;x,y)R(x,0;x,y)}eixdx。

K(y,x)1{R(x,0;0,y)R(x,0;0,y)}。（2。3。1。3）

得到于此，我们已经证明了下面的定理

定理2。3。1。1[1]具有初始条件（2。3。1。2）的方程（2。3。1。1）的解e(,x)可以表示如下