2  分形维数及其计算方法的简单介绍

定量描述自相似分形特征的参数叫做分形维数，本文用到的分形维数是Hausdorff维数。对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的“尺度”去度量，则可得一确定的数值；若用低于它维数的“尺度”去度量，结果为无穷大；若用高于它维数的“尺度”去度量，结果为零。简单的说，就是把一个几何对象每边放大倍，若它本身成为原来的几何体的倍，则该对象的Hausdorff维数是文献综述

计算分形维数的公式是

式中是小立方体一边的长度,是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目，维数公式意味着通过用边长为的小立方体覆盖被测对象来确定分形维数。

估算分形维数的方法基本由以下3步构成：（1）用不同的尺度测量研究对象，并得到相应的测度（周长、面积、体积等）；（2）建立尺度和测度之间的双对数关系，对数据点用最小二乘法进行拟合；（3）估计拟合直线的斜率，即Hausdorff维数。

由于本文研究的是金属腐蚀形貌的分形特征，故此只介绍三维图像的计算方法。图像的三维计算方法有主要有3种——计盒维数法、布朗随机场模型法、地毯覆盖法，本文只详细介绍第一种方法。

3  计盒维数法

盒维数又称计盒维数，是应用最广泛的维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的数学计算及经验估计相对容易一些。盒维数法是通过盒子覆盖图形再计算盒子数目来估计分形维数的，主要包括盒维数法、差分盒维数法、三棱镜盒维数计算法。

3。1  盒维数法

将像素的原始图像划分为个连续的网格，其中表示图像像素点的数目，则每个网格的边长为。在每个网格上，用边长为的立方体盒子从投影面开始堆砌。将灰值图像想象成一个在三维空间中的分形曲面，统计覆盖该曲面的最小盒子数，则图像区域的分形维数将由下式决定：

其中为常数，两边同时取对数得：

再用最小二乘法拟合出相对于的斜率，也就是该图像区域的分形维数。

3。2  差分盒维数法

首先将像素的原始图像划分为个连续的网格，其中表示图像像素点的数目，则每个网格的边长为。在每个网格上，用边长为的立方体盒子从投影面开始堆砌。将灰值图像想象成一个在三维空间中的分形曲面，使每个网格的灰度面上的最大灰度和最小灰度分别被包含于序号和的盒子中，则有来:自[优.尔]论,文-网www.youerw.com +QQ752018766-

式中，为图像坐标，为盒子序号，为覆盖第网格的灰度面所需的最小盒子数。因此，覆盖整个图像所需的盒子数为

而分维数为  。

针对不同的，计算，用最小二乘法拟合，所得直线方程的斜率即为分形维数。

3。3  三角棱柱法

三角棱柱法主要考虑了目标图像上的面状特性，所得的分维数稳定可靠，可以用来表示图像的空间复杂度。将像素的原始图像划分为个连续的网格，其中表示图像像素点的数目，则每个网格的边长为。网格中心点的像素值为4个角点像素平均值，中心点将网格顶部分成4个三角形，分别计算这4个三角形的面积，其和即为网格的表面积，如图1所示。改变网格尺寸，重复上述计算，从而得到图像表面积与网格尺度之间的关系