微分方程模型的建立方法[8]:

(1) 根据规律列方程。此种方法主要是通过运用各个学科中已知的法则和规律来建立微分方程模型。

(2) 微分分析法。此种分析法首先是寻找微元之间的关系式,然后对微元应用相关定理或相关规律构造模型。

(3) 模拟近似法。对于规律或现象不清楚,比较复杂的问题,常用此法来构造模型,这一类模型一般需要作出一些假设,将要研究的问题突出出来,之后通过分析其解的相关性质,再次基础上同实际问题作比较,看所做的模型是否符合实际,必要时要对假设或模型进行修改。

微分方程的一般形式为[9],或者。

1。2 微分方程的稳定性理论

讨论非线性常微分方程组    (1-1)

解得特性时往往会联系到某些特解。为讨论方程组(1-1)的特解附近解的特性,常把方程组(1-1)化为

定义1-1[10]:假如对,(通常与,相关),使当时,方程组(1-2)由确定的解为,对所有均有成立,那么称方程组(1-2)的零解稳定。

定义1-2[10]：如果(1-2)的零解稳定,且存在这样的使当时,满足初值条件的解均有论文网

,

则称零解为渐近稳定的。

定义1-3[10]：如果渐近稳定,且存在域,当且仅当时满足初值条件的解均有,就称是（渐近）稳定域。如果稳定域是全空间,即,那么零解就是全局稳定的。

定义1-4[10]：当零解不稳定时,即:如果对某个给定的,不管怎么小,总有一个满足,使初值条件所确定的解,至少存在某个使得

,

则称方程组(1-2)的零解为不稳定的。

1。3 Lyapunov函数定义

设n维自治微分方程      (1-3)

的解为,右端项在

上连续,满足局部的Lyapunov条件,且。

定义1-5[10]:若函数

满足,和都连续,且

(1) 若存在,使在上,则称是半正(负)定的;

(2) 若在上除外总有,则称是正(负)定的;

(3) 既不为半正定又不为半负定的函数称为变号函数。

通常称函数为Lyapunov函数。

定理1-1[10]:对方程(1-3),若在区域上存在Lyapunov函数满足

(1) 正定;(2) 半负定;

则(1-7)的零解是稳定的。

定理1-2[10]:对方程(1-3),若在区域上存在Lyapunov函数满足

(1) 正定;

(2) 负定;

则(1-7)的零解是渐近稳定的。

定理1-3[10]:对方程(1-3),若在区域上存在Lyapunov函数满足

(1) 正定;

(2) 不是半负定函数;

则(1-3)的零解是不稳定的。

定理 1-4(Hurwitz判别法)[10]:设给定常系数的n次代数方程

其中,作行列式

其中（对一切）。那么,当且仅当下面不等式全部成立时,方程(1-4)的所有根均有负实部: 

2。 埃博拉病模型

现今,各个国家都关注和研究了埃博拉病毒的传播,弄明白它的传播方式能更好的控制该病流行。因此,该文利用数学建模的思路建立了微分学传播模型[2]。

我们在研究该病的传播时,常用到个别地方内该疾病的流行情况。文献综述

2。1 SIRS埃博拉病模型

假定新生儿不计入人口总数;染病者康复后仍不能免疫此疾病,即可能会继续患病;忽略掉该地区中人口的迁入和迁出。根据埃博拉病毒感染的情况,为了方便建立该病毒的传播模型,引入一下数学符号:我们将总人口划分为易感者、患有埃博拉病毒染病者和康复者,并分别用,和表示在t时刻易感者、埃博拉患病者和康复者的个体数量[11]。其中,所有参数都是正常数。是易感者的输入人口数量,是人口自然死亡率,是疾病的传染率系数,是潜伏的患病者变为康复者的概率,b是康复者再次成为易感人群的概率。根据现实的生物学意义,可以假设,,用表示在t时刻时人口总数,则