1。常微分方程的概念以及恰当微分方程

1。1常微分方程基本概念

微分方程与未知变量、 独立变量及其倒数关系有关。 如果独立变量的数目是一个, 我们称为常微分方程。 

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就是一个简单的例子, 其中是未知数, 是自变量。

1。2恰当微分方程 

我们做一些变换把一阶微分方程

改写为微分的形式

或者是平等看待, 化成下面这个具有对称形式的一阶微分方程

这里假设在某个矩形区域里是的连续函数, 并且含有连续的一阶偏导数。 这样类型的形式就有助于求出方程的通解。

如果这个方程的左端恰好是一个二次函数的全微分的形式, 即

 则称这个方程是恰当微分方程。

很容易的验证出, 的通解是

这里的是任意的一个常数。

这样, 我们就会自然而然的想到如下的问题：

（1）如何判断这个方程是一个恰当微分方程？

（2）假如是一个恰当微分方程, 接下来又该如何求得她的通解函数？

   为了回答上面的问题,我们首先查看, 如果是恰当方程时, 函数应该是具有什么性质？

通过证明

是为恰当方程的充分必要条件。

例1 

这里                   

因此这个方程是恰当微分方程。

这样的方程我们可以通过积分来求出它的通解, 但是在大多数情况下,我们遇到的不是这样的方程, 而是另外一种非恰当微分方程。 这种方程要是直接求解就并非通过简单的积分就可以求解。 所以我们就会有一个想法, 通过他们之间的转化来实现求解, 这样的话就会使问题变得简单。 因此如何进行转化就成为一个要思考的重要问题。 我们要用到的就是积分因子的办法, 把它比喻成为化学中的催化剂, 使得方程最后变为一个恰当微分方程。 为此本文寻找不同类型方程的积分因子, 目的是让运算更为简便。 文献综述

2。积分因子的存在性

2。1积分因子的概念

    如果存在连续的同时又是可微的函数使得

为一个恰当的微分方程, 那么存在函数, 使得

则称为方程的积分因子。

2。2几种积分因子存在的充要条件

函数为的积分因子的充要条件是

这个方程的计算是相当复杂的。 然而, 在大多数的特殊情况下, 它起着非常重要的作用, 因此它提供了一种寻找特殊形式的积分因子的方法。

例如, 对于方程, 如果存在唯一的与有关的积分因子。, 则, 这时候方程 变成来;自]优Y尔E论L文W网www.youerw.com +QQ752018766-

由此可知，方程有只与有关的积分因子的充要条件是

结论1 当时, 方程有只与有关的积分因子, 为。 

结论2 当时, 方程有只与有关的积分因子, 为。

结论3当时,  方程有形如的积分因子, 为。

结论4 当时, 方程有形如的积分因子为。 证明类似结论3的证。

结论5 当时, 方程有形如的积分因子。