摘要：勒贝格控制收敛定理在勒贝格积分中占有非常重要的位置。 本文在积分和积分的基础之上，利用定理与定理引出勒贝格控制收敛定理，并对该定理展开论述且进行证明和探究其的广泛应用。 勒贝格控制收敛定理提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序的一个充分条件，能够在证明积分的等式、积分的不等式、积分极限、判断函数连续和计算积分极限等方面的重要应用。 82818

毕业论文关键字：勒贝格控制收敛定理；可积函数；极限；积分

Lebesgue Control Convergence Theorem And Its Application

Abstract: Lebesgue control convergence theorem plays a very important position in the Lebesgue integral。 This paper basis on Riemann integral and Lebesgue integral, by using Levi theorem and Fatou theorem leads to the Lebesgue dominated convergence theorem, and the theorem is discussed and proved, and explore its wide application。 Lebesgue control convergent theorem provides integral operation and limit operation can exchange the order of operations, a sufficient condition, in proof of integral equation, integral inequality, integral limit, judge continuous function and the computation of the integral limit aspects has important applications。

Key words: Lebesgue control convergence theorem; Integrable functions; Limit;     Integral

目    录

摘要 1

引言 2

1。黎曼积分和勒贝格积分 4

1。1黎曼积分定义 4

1。2 勒贝格积分定义 4

   1。3勒贝格积分主要性质 4

2。勒贝格控制收敛定理 5

2。1 勒贝格控制收敛定理的引理 5

2。2勒贝格控制收敛定理及其证明 7

3。勒贝格控制收敛定理的应用 8

3。1利用勒贝格控制收敛定理证明相关结论 8

3。2利用勒贝格控制收敛定理求极限 12

4。结束语 15

参考文献 15

致谢 17

勒贝格控制收敛定理及其应用

  引言

   黎曼将Cauchy只对连续函数定义的积分概念扩张成如今我们所知的黎曼积分（即积分），从而扩展了积分的应用领域。 可是纵然在有界函数领域内，积分仍旧具有很大的缺陷，关键体现在下面两个方面[1-3]。 

    （1）积分与极限可交换的条件太苛刻。 

若有一列可积函数的极限函数（即使有界）也不一定可积。 所以在极限与积分交换的情况中，积分的局限性就显得格外的突出，我们知道：为了使

，

对一列收敛的可积函数都能成立，通常我们需要对加上一致收敛的条件。 所以这一充分条件不光十分的苛刻并且查验起来也十分麻烦，因而降低了积分的效果。 

（2）积分的运算不全都是微分运算的逆运算。 

任意的一个可积的函数变动上限积分在的所有连续的点均有，同理，便是说在积分后再微分都能够还原（不连续的点组成零集，可忽略）。 

可是在另外一个角度有个例子能够说明，一个可微的函数的导函数虽然有界也不一定可积，因此无法成立牛顿—莱布尼茨公式

所以在积分的范畴内，积分运算也仅仅有一些作为微分运算的逆。