本文的主要研究工作:首先定义了常微分方程初值问题数值解法及线性多步法基本公式的概念,然后推导并掌握一类常用的线性基本公式[4],最后举出生活中求解常微分方程的实例并运用基本公式求解[5][6][9],在实例中体会线性多步法在生活中,在常微分方程初值问题中的应用。

1。基本概念及原理

1。1常微分初值问题的数值解法

在实际生活中的各种科学工程和科学技术的问题中,常常遇到常微分方程问题需要求解,但往往只有少数典型的或较简单的常微分方程可求出其具体的解析解的表达式,关于变系数常微分方程的解析求解就相对艰难,而普通的非线性常微分方程就更困难了。因此,在解常微分方程过程的大多数情况下,我们都只能用近似法求解,求出解的近似值作为近似解。

用于求解常微分方程的近似解法有三大类方法:一类是图解法和器械法;第二类是解的近似法;第三类是数值解法。数值解法就是利用离散化的方法直接求出微分方程函数在某些点上的与理论解近似的值,由此得到的仅仅是精确解的近似值,也就是数值解。其基本原理为:一阶常微分方程的初值问题的解是上变量的连续函数,在连续函数的区间上取若干离散点,利用离散化的方法将函数的初值问题化成这若干个离散变量的相应问题就是求该问题的数值解的过程,得到的这些离散变量的解就是近似解。论文网

对于一般的一阶常微分方程的初值问题

如果存在实数,使得

,

则称关于满足利普希兹条件。

由常微分方程的理论可知,只要在区域上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程的解存在且唯一。

初值问题的数值解法也有许多种方法,常见的和生活中常用的方法是采用步进法的方法,而步进法又由两大类方法构成,分别是单步法和多步法两类。

(1)单步法。所谓单步法是指在计算时,只用到的有关信息,其一般形式为:,主要包括下面三种方法:Euler方法,改进的Euler公式,梯形公式和Runge-Kutta法。

(2)线性多步法。单步法在计算时,只用到前一步的信息。这样得到的精度不高,为了提高精度,需要再次计算函数在多个点处的值,例如RK方法就是这样利用这样的思想来求解微分方程的,但是这种方法计算量较大。如何通过较多地利用前面的已知信息,如来构造高精度的算法计算,这就算多步法的基本思想。如果计算时,除用的值,还用的值,则此方法为线性多步法。

1。2线性多步法基本概念

求解常微分方程初值问题的线性多步法公式的构造总体来说可分为两类方法:传统上的数值积分方法即直接对微分方程两端积分再利用求积公式得到近似解,另一种方法就是本文主要研究的待定系数法。通过待定系数法得到的线性k步法公式数量更为庞大,应用也更加广泛。广泛的一类线性多步法公式的一般形式如下表示:

,            (1。1)

其中均为实常数,且,,当时为显式方法,时为隐式方法。只要确定了线性多步法的步数,明确了对的要求,例如令中的某些参数为0,就能通过求解如下的线性方程组:

          (1。2)文献综述

求出,相应的线性多步法的公式就这样被构造出来了。

在已知时,计算

          (1。3)

若有

                  (1。4)

则该公式的阶为,且局部截断误差为

称为局部截断误差系数。

定义1。记

                        (1。5)