图1：Radon变换示意图

,故根据对弧长曲线积分的计算公式，式(1)表示的Radon变换也可写为：

。Radon运用平均值的思想，建成Abel积分方程并解之，获得求逆公式。结合Radon变换性质，得到其逆变换的解析表达式：

,             (3)

式中是的极坐标，而为式(1)中Radon变换积分直线L的参数。

从求逆公式(3)易见。积分当是发散，因此，Radon求逆公式中的积分可以理解为柯西主值意义下的积分。

式(3)还可以用状态算子方程表示：

式(4)中，表示Radon逆算子，B表示反投影算子，以及各自表示含两个变量的函数对它第一变量的Hillbert变换与偏导数，表达式：

2。CT图像滤波反投影重建算法

2。1平行束图像重建算法

    滤波反投影(filtered back projection，FBP)是现今普遍使用的图像重建算法之一。FBP算法是利用参数与重新确定积分限来表现的。

,

将空间直角坐标系(u,v)转化为极坐标系。令

则   由中心切片定理或可得

是换积分变量产生的雅克比因子，就形式而言构成了一种对投影数据作“高通滤波”的效果。令，即对投影进行滤波，滤波器称为斜坡滤波器。因此

。  上式描述了二维平行束投影的滤波反投影重建过程，即首先对各个视角的投影数据进行滤波，然后反投影累加来计算函数。表示投影角度为的滤波投影数据，其滤波算子在频域空间由来表示。

2。2扇形束图像重建算法文献综述

    设射线源S到旋转中心(即远点)的距离为D，，对物体进行等角度扇形束扫描，获得投影数据，此中，射线源S与旋转中心O连线与纵轴的角为，射线与中心线SO的夹角为。

    已知平行束重建算法为

,其中，为有限非零区间，当时，。

    令，则，将上式转换为极坐标形式为

,用，将平行束的变量替换成扇形束的变量。

 因为到已经覆盖了物体的整个360°，所以等效于从0到进行积分。等效于扇形束的最大幅角，而，因此可得到扇形束图像重建算法：

但是上述公式对的积分不是卷积的形式。

    要重建C点的数值，设SC与SO的夹角为，SC长度为。

则扇形束图像重建算法可以表示为

斜坡滤波器卷积核的性质：来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

因此可以得扇形束滤波反投影的算法：

。

    注意，斜坡滤波器卷积核的性质：，只有在频域积分区间为无限时才成立。若对斜坡虑波器进行加窗，变成有限宽带的函数，则该等式不成立。

2。3锥形束图像重建算法

    Grangeat算法理论

    设密度函数是上实的可积函数，用来表示被重建额物体，它的支撑是一个球心位于原点、半径为R的球，||R||≤R。曲线位于之外,有界、连续且处处可微，用来表示源点轨迹(是的取值范围)。满足Kirillov精确重建条件，即空间中的所有平面与轨迹相遇。 Kirillov条件的数学描述是：对全部(中单位向量的集合)和所有，都存在，使得成立。