1。预备知识

定义设为环的一个元素,若在中存在元素使得满足,则称是环的一个左零因子,类似可以得到右零因子概念,我们把左、右零因子统称为零因子。

定义若环中含有元素,它对中每个元素均有,则称为环的一个左单位元;若环中含有元素,它对中每一个元素都有,则称为环的一个右单位元。环中既是左单位元同时又是右单位元的元素,叫做的单位元。

定义设是一个含有单位元的环,则称的可逆元也是的单位。论文网

定义阶数大于,含有单位元且是无零因子的交换环称为整环。

定义我们把记非空集合,且在中规定两个代数运算:普通加法和普通乘法,通过代数学的理论得到:关于普通加法与普通乘法构成一个环,同时环中含有单位元1、无零因子的交换环,则构成一个整环,被称作为整环。

定义设是一个整环。如果

（1）有一个从的不含零元集-{0}到不是负整数集的映射存在；

（2）这个对中任意元素及，在中有元素使

，

则称关于作成一个欧氏环。

定义若在一个有单位元的整环中每一个理想均是主理想，则称此环为主理想整环。

定义设，且不是单位。若只含有平凡因子，则称为环的一个不可约元；若有非平凡因子，则称为环的一个可约元。 

定义设是一个有单位元的整环，若对任何一个\有

(1)可分解为有限个不可约元之积：

，

其中为不可约元。

(2)若，其中，皆为不可约元，则,且适当调换次序后可使,则称是唯一分解整环。

定义设是的任一理想,则关于陪集的加法同乘法作成一个环,称为关于的商环(也称之为剩余类环),且

。

定义设和是两个环，若有一个到的映射满足;对任何有

，

，

则称是一个到的同态。如果是双射，则称是到的一个同构。

定义设\,

(1)若无真因子,则称是不可约元。

(2)若当时必有或，则称是素元。

定义设是一个含有单位元的整环,若存在一个到正整数集合的映射满足对任何皆有使,其中或，则称是一个欧氏环,称为的范数。

定理主理想整环是唯一分解整环。文献综述

性质设是有单位元的整环,。若且和都不是可逆元,则称是的真因子。

引理当＝-2,-1,2,3时，整环对于

作成欧氏环，其中。

引理设，不全为零，且

，则；

引理欧氏环是主理想环。

证设是欧氏环,是中任一理想,若是主理想，若,令,其中是欧氏环的范数,非空且是自然数集的子集，由自然数的有序性,中包含最小元,设最小元是且。根据欧氏环的定义得,对任何全部都存在,使,其中或,但因,由的最小性，必有,所以，故可得到是主理想，因而是主理想整环。

引理若，是素元，且则。

引理设，若有，使得（是一整数），则。

引理整数集中属于理想的最小正整数为,其中,,,．

证明设是中属于的最小正整数,则使，

则因此,令有解得因而,从而,，，

由的最小性知最小．因而,即．定理成立．

2。高斯整环的主要结论来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

2。1高斯整环的性质

性质2。1。1的单位(可逆元)是 1,-1,,。

证明设,可逆,其逆元为,则=1 两边取模并平方,得到=1由于,,故,于是

 或或或

即的单位(可逆元)是1,-1,,。

性质2。1。2整环是欧氏环。

证明1首先令 

:→。

显然 ,作成一个从整环到不是负整数集的映射。对任意,≠0 。则在中含有逆元,令设为整数,且