摘要：余元公式是数学分析中的一个重要公式，在积分学中有许多应用。本文通过对余元公式证明方法的总结,得出了余元公式新的证明方法，并通过实例分析讨论了余元公式在欧拉函数中的有关应用。83423

毕业论文关键词：余元公式；级数理论；欧拉函数；Γ函数；Β函数

Proof and application of the complementary formula

Abstract:Odd element formula is mathematical analysis of a formula。 In integral calculus has many applications。 This paper summarizes the proof of odd element formula of the method, it is concluded that the new methods of proving Odd element formula, and through case analysis and discussion of the application of odd element 

formula in the Euler function。

Keywords: Odd element formula; Series theory; Euler function;Gamma function; Beta function

目录

摘要。 1

引言 2

一。余元公式的证明 3

用幂级数和级数理论证明余元公式 3

2。用二重积分证明余元公式 4

3。余元公式的积分证明法 7

二。余元公式的拓展 10

三。余元公式的运用 11

1。欧拉函数中有关余元公式的运用 11

2。利用余元公式计算特殊三角函数的积分 12

3。余元公式在定积分中的应用 13

参考文献 16

致谢 17

余元公式的证明及其应用

引言

在高等数学的学习中,积分的计算无疑是一个非常重要的内容。在进行积分计算时,我们常用的方法有:直接积分法,换元积分法,分部积分法等等。而对于一些特殊的积分,我们往往需要一些比较特殊的方法来计算。利用含参变量积分是引入非初等函数的一个重要途径。所谓欧拉积分正是如此。通过观察欧拉积分中Γ函数与Β函数的关系得出了余元公式,余元公式是数学分析中一个重要的公式，在积分学中有许多应用。我们可以通过利用余元公式结合运用定积分的有关性质把欧拉函数中Γ函数与Β函数二者联系起来，并通过实例分析讨论余元公式在欧拉函数中的有关应用。

现今许多高校给多种余元公式的证明方法。菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》第二卷第三册，采用级数解法;现在叫东南大学《数学物理方程与特殊函数》附录A,采用留数解法;辽宁职业学院赵大伟同学运用了幂级数对余元公式进行了证明;淮北师范大学王福章采用了二重积分交换次序证明了余元公式;怀化学院何郁波运用了积分证明法等等。

本文先介绍了余元公式的定义,总结了前文提到的几种余元公式的方法，参阅他人的证明方法引入余弦函数的级数展开对其进行了证明,再结合部分例题对余元公式的应用加以阐释。

数学分析中给出的余元公式具体表达式如下:文献综述

ΓΓ，其中为任意常数，Gamma和Beta函数分别为Γ

。余元公式的证明

用幂级数和级数理论证明余元公式[1]

关于用变量积分表示的贝塔函数（欧拉积分）

(只要在前一个积分中令，便有第二积分)有以下很有用的余元公式:

 。(1)首先，我们有(2) 对任意固定的，，有

且右端级数在区间一直收敛，故