1。定积分的定义与性质

1。1定积分的定义

定义1[1]  设是定义在上的一个函数,是一个确定的实数。若对任给的正数,总存在某一正数,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要,就有

,

则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或者黎曼积分,记为

定积分的几何意义：对于上的连续函数,

（1）当时,定积分的几何意义是该曲边梯形的面积；

（2）当时,这时是位于轴下方的曲边梯形面积值的相反数。

定积分的研究来源于解决实际问题。从定积分的定义可以看出,其本质上是一个无穷多项的和式。由于是连续函数,对区间的分割充分细密时,其计算结果会更加精确,计算误差充分变小。求解定积分问题的中心思想是“分割、近似求和、取极限”,反映出来的进一步思想是“化整成零,积零成整,消除误差”。

1。2定积分的性质

性质1[1]  若在上可积,为常数,则在上也可积,且

。

性质2[1]  若都在上可积,则在上也可积,且

。

性质3[1]  若都在上可积,则在上也可积。

性质4[1]  （积分区间的可加性）在上可积的充要条件是：任给在与上都可积。此时又有等式

。

性质5[1]  设为上的可积函数。若,则。

性质6[1]  若在上可积,则在上也可积,且

。

性质7[1]（积分第一中值定理）  若在上连续,则至少存在一点,使得

。

2。定积分的计算方法

2。1定义法求定积分

定义法求解步骤

步骤1：把的积分区间等分成个子区间。

步骤2：任取一点,并计算。

步骤3：把步骤2中计算出来的所有结果累加求和。

步骤4：为保证计算结果的精确度,让一切子区间的长度都无限接近于零,因此要求子区间长度中的最大值接近于零。

例1  利用定积分定义计算。文献综述

分析  求解定积分概括起来就是“分割,近似求和,取极限”。由于在[0,1]上连续,故存在。选择分割和对应的点集,取等分分割:,。

解  将区间[0,1]进行等分,取, 。则积分和为

当即时,即得例2  运用“分割、近似求和、取极限”的思想,来计算定积分。

提示：

解  将进行等分,分点为。在区间上取作为,则

2。2利用Newton—Leibniz公式求定积分

定理1[1]  若函数在上连续,且存在原函数,即,则在上可积,且

上式被称为Newton—Leibniz公式,它也常写成

例3  计算。解     

例4  计算定积分解   

2。3定积分的换元积分法

设是的一个原函数,则

                  。

上式被称作定积分的凑微分公式,也成为第一类换元积分公式。

定理2[1]  若函数在上连续,在上可积,且满足,则有定积分换元公式：

上式也被称为定积分的第二类换元公式。

2。3。1利用积分区间的对称性计算定积分

定理3[4]  设函数在关于原点的对称区间上连续,则

若不具有奇偶性,则有。来,自.优;尔:论[文|网www.youerw.com +QQ752018766-

若为奇函数,则有。

若为偶函数,则有。

例5  计算。

解  因为积分区间是关于原点对称的对称区间,故设

则 ,

由定理3可知。

2。3。2运用周期函数的积分性质来求解定积分