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(2.3)
将方程（2. 2）代入（2. 1）中，利用算子L的线性性质，可得到：
(2.4)
为了求解方程（2. 4）中的未知系数 ，我们可以将该方程在由 的值域空间 内定义的 个展开函数 ， ，， 构成的空间 上进行投影，并引入内积的概念，从而使得（2. 3）式在内积的定义下取零值，这即是加权余量法的思想。具体表示为[19]：
(2.5)
同理，若 趋于无穷且 是一完备集，则此方程与（2. 4）完全等价。实际上， 是有限的，因此该方程是一个将余量表达式（2. 3）在内积的定义上使其为零的过程。在实际应用中，一般将 称为权函数或测试函数。上述投影的过程也被称为测试过程，最终我们能得到如下矩阵方程[19]：
从以上推导可以看出，基函数和测试函数的选取是矩量法中的一个关键环节。由于在实际计算中，基函数和测试函数所构成的线性空间必须是有限文度的，因此，若要使得矩阵方程（2. 6）尽可能精确地描述原始问题，线性子空间 和 就应该尽可能的完备。测试函数的选取决定了不同的测试方式。常用的测试方法包括：点匹配法，线匹配法和伽略金法（Galerkin’s method）。
Galerkin方法最早用于求解微分方程的边值问题， 它属于加权余量法的一种，尽管其在运算中带来了较大的计算复杂度，但却能够得到稳定的数值解。因此，本文中即使用该方法。
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