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（2-24）
由分解理论， ：
（2-25）
通过式2-25中能注意到， 开始， ，将其定义为 。 开始， ，将其定义为 ，以此类推，第r行以 开始， ，将其定义为 ，则以上推导便可得到：
（2-26）
抽取器的实现框图如图2-14所示：
图2-14 利用分解的抽取实现框图
由减采样恒等定理，可将减采样移到滤波之前，则实现框图可改为：
图2-15 将减采样恒等关系用于分解抽取滤波器的实现框图
现在来比较一下，图2-15相对于图2-13的优点， 是采样率：单位时间采一个样本， 滤波器。图2-13属于直接实现，其中要求每单位有 次 次减法。图2-15的系统中， 滤波器 长，输入采样率为 个单位时间一个样本。这样，每个滤波器要求每个单位有 次乘法和 次加法，然后整个系统要求 次乘法和 次加法在每个单位时间。相比之下，图2-15的结构很明显的优于图2-13的结构。
2.5 离散傅里叶变换的滤波器组
一种降低计算复杂度的方法通过抽取滤波器分解可以在实现多速率系统时应用。将带宽信号分解成多个频带(信道)，是本节介绍的一种应用数字滤波器组的较直观方法，处理后，可以对每个频带进行单独的处理，因此低速计算技术能在每个通道中被应用。这里，假设所有的信道都有着相同的采样率和带宽，即滤波器组是均匀的，还假设有着严格的信道输出，即单位时间内从所有信道输出和输入信号的样本数时完全相同。
设计多个单独的滤波器是实现滤波器组最直为接方法，如图2-16，表示了一个传统的 ， 得到 ，然后，这些调制信号被 进行低通滤波， 进行下抽取，使得有这些调制信号有效地转换为了基带信号。信道的输出 可以表示为：
（2-27）
图2-16 传统的M通道信道化滤波器组模型
滤波器组中任意信道可由下图表示：
图2-17 传统的M通道信道化滤波器的一路
从上图可知， 一开始先经过了一个下变频器，然后再通过一个低通滤波器。取出整个频带中的一个部分为此框图的作用，由经验得，信号先下变频再通过一个低通滤波器和先通过一个带通滤波器再下变频的效果是等价。
（2-28）
式2-28证明了上述想法，其框图如下图所示：
图2-18 先带通率波再下变频框图
若在下采样之前进行下变频，则等价于每个样本都经过一次下变频的乘法，因为在下变频之后立刻进行了采样，故对于丢弃数据也同样做了没必要的下变频，这样就会对处理速度的要求比较高，如果在下采样之后进行下变频，则等价于M个样本只用做一次下变频，这样对下变频的处理速度就大大的降低了。框图如下图所示：
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