(2-5)

     即二者是周期延拓的关系。正如采样定理内容所描述的:当且只当模拟滤波器的频率响应大小限带于折叠频率以内的时候,也就是当:

                                                            (2-6)

在折叠频率以内,数字滤波器的频率响应才能重现模拟滤波器的频率响应,也就是: 

                                                         (2-7)

    但实际使用的模拟滤波器都并非严格限带,变换后就会产生频谱混叠失真,如图2-1:

图2-1脉冲响应不变法的混叠失真

对模拟滤波器的ha(t)进行采样,若采样频率Fs增加,那么采样周期就减小,系统周期延拓分量相距就会更远,混叠失真的效应就减小了。 

MATLAB中冲激响应不变法的调用函数是:[bz,az]=impinvar(b,a,Fs),利用模拟滤波器分子分母各项系数求数字滤波器分子分母各项系数。

  脉冲响应不变法的优点是时域逼近良好,使h(n)=ha(nT),同时转换前后的频率呈线性关系(即:ω=Ω*T),因此脉冲响应不变法设计可以保持线性相位。 

    脉冲响应不变法的缺点是混叠失真,高频衰减越快,混叠失真越小,因此脉冲响应不变法适用的模拟滤波器是限带的。

2。2。2 双线性变换法 文献综述

    脉冲响应不变法的平面转换是多值映射,为了避免这种映射所产生的失真,在设计过程中要使用压缩非线性频率的方法,首先要压缩模拟滤波器的频率范围,然后根据变换准则 变换到Z平面上去,这样变换前后就是单值对应的关系。

    根据正切变换,压缩S面的频率到S1面频率的-π/T~π/T范围: 

上式中T是采样间隔。当Ω1由-π/T    π/T时,Ω由-∞    +∞,即映射整个jΩ轴。所以上式可以写成 

    设s=jΩ,s1=jΩ1,则   

    再利用 ,得到的单值对应变换如下:

变换关系用两个线性函数之比表示,所以被称为双线性变换法,如:式2-11与式2-12。

    双线性变换法首先要令 带入式(2-11)得:

其次,令 代入式(2-12)得:   所以 

综上可得,当σ<0时,|z|<1;反之则|z|>1。即映射关系是:左半平面映射到单位圆内,虚轴映射到单位圆上,右半平面映射到单位圆外。

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