(2-5)

     即二者是周期延拓的关系。正如采样定理内容所描述的：当且只当模拟滤波器的频率响应大小限带于折叠频率以内的时候，也就是当：

                                                            （2-6)

在折叠频率以内，数字滤波器的频率响应才能重现模拟滤波器的频率响应，也就是： 

                                                         (2-7)

    但实际使用的模拟滤波器都并非严格限带，变换后就会产生频谱混叠失真，如图2-1：

图2-1脉冲响应不变法的混叠失真

对模拟滤波器的ha(t)进行采样,若采样频率Fs增加，那么采样周期就减小，系统周期延拓分量相距就会更远，混叠失真的效应就减小了。 

MATLAB中冲激响应不变法的调用函数是：[bz,az]=impinvar(b,a,Fs)，利用模拟滤波器分子分母各项系数求数字滤波器分子分母各项系数。

  脉冲响应不变法的优点是时域逼近良好，使h(n)=ha(nT)，同时转换前后的频率呈线性关系（即：ω=Ω*T），因此脉冲响应不变法设计可以保持线性相位。 

    脉冲响应不变法的缺点是混叠失真，高频衰减越快，混叠失真越小，因此脉冲响应不变法适用的模拟滤波器是限带的。

2。2。2 双线性变换法 文献综述

    脉冲响应不变法的平面转换是多值映射，为了避免这种映射所产生的失真，在设计过程中要使用压缩非线性频率的方法，首先要压缩模拟滤波器的频率范围，然后根据变换准则 变换到Z平面上去，这样变换前后就是单值对应的关系。

    根据正切变换，压缩S面的频率到S1面频率的-π/T~π/T范围： 

上式中T是采样间隔。当Ω1由-π/T    π/T时，Ω由-∞    +∞，即映射整个jΩ轴。所以上式可以写成 

    设s=jΩ，s1=jΩ1，则   

    再利用 ，得到的单值对应变换如下：

变换关系用两个线性函数之比表示，所以被称为双线性变换法，如：式2-11与式2-12。

    双线性变换法首先要令 带入式（2-11）得：

其次，令 代入式（2-12）得：   所以 

综上可得，当σ<0时，|z|<1；反之则|z|>1。即映射关系是：左半平面映射到单位圆内，虚轴映射到单位圆上，右半平面映射到单位圆外。