经验模态分解端点效应抑制方法研究(2)
20世纪50年代，shekel 提出了瞬时频率概念，但人们无法接受“震荡的频率是连续变化的”这一概念。DennisGabor 于 1946年引入了短时傅立叶变换(STFT),基本思想是基于窗内函数是平稳的这一前提，截取窗内信号,对窗内信号采用傅立叶变换分析,得到窗内频率成分,然后沿着信号时间方向移动窗函数,得到频率随时间的变化关系,即所需要的时频分布。短时傅里叶变换的数学形式是： 2( , ) ( ) ( )j ftSTFT f x t w t e dt （1.2） 其反变换为： ( ) ( , ) ( )j ftx t STFT f w t e d df （1.3） 此外也有 Wigner - Ville 时频分布（WVD），最初这种分布是由 Wigner在量子力学中提出，其数学表示式为： 2( , ) ( ) ( )22j ftWVD t f z t z t e dt （1.4） ()( ) ( ) ( ) [ ( )]xuz t x t j du x t jH x ttu （1.5） 其中() zt为() xt的解析信号，[ ( )] H x t为() xt的Hilbert变换,z为z的复共轭。 在 20世纪60 年代，Cohen发现众多时频分布都是 Wigner - Ville 时频分布的变形，可以把形式进行统一，称为 Cohen类时频分布（CTFR），其表达式为 ( , ) ( , ) ( , ) CTFR t f WVD t f d d （1.6） 其中WVD为Wigner - Ville 时频分布， （ ， ）称为核函数。常用的加核函数后的Cohen类时频分布有平滑 Wigner – Ville 分布、Wigner - Ville 分布等。特别的，Cohen的类时频分布的一个最大的特点是时移不变和频移不变特性自动满足，即Cohen类时频分布具有自适应性。由于自适应性潜在的优异性能，引起人们广泛关注，形成了非平稳信号研究领域的一个研究新热点。可是在 80年代以前，人们对于信号分析仅仅局限于平稳的情况，进入 80年代以后, 随着时频分析理论与应用的发展，对于非平稳随机信号分析与处理的研究逐渐受到人们的广泛关注，并日益发展起来。20世纪80 年代后期法国科学家 Morlet和理论物理学家 Grossman为小波变换提出了理论框架。连续小波变换表示式是：