2.1  DOA的基本算法

2.1.1 多重信号分类算法

多重信号分类（MUSIC）算法由Schimidt提出，利用噪声子空间的特征矢量和导向矢量矩阵A的列矢量 的正交性来进行DOA估计的。但是由于噪声的存在， 与噪声子空间不能完全正交，因此MUSIC算法要通过搜索实现DOA估计。构造代价函数为

                  （2.1）

根据正交性，搜索上式的最大值对应的 值即为波达估计方向

             (2.2)

      因此MUSIC算法的步骤为：

     1、由阵列接收数据得到协方差矩阵估计 ；

     2、对 进行特征值分解，由大特征值对应的特征矢量张成信号子空间 ，由小特征值对应的特征矢量张成噪声子空间 ；

     3、根据式（2.1）构造代价函数，并进行谱峰搜索，其最大值对应的角度即为DOA估计值。

2.1.2 旋转不变子空间技术

旋转子空间不变（ESPRIT）算法由Roy提出，该算法利用2个子阵之间的旋转不变关系进行DOA估计。与MUSIC算法相比，ESPRIT算法无需进行搜索和阵列校正，大大降低了计算量。

ESPRIT算法首先是将L个天线阵元分为2个长度相同的子阵，假设原阵列的第1个阵元到第L-1个阵元为第一子阵，第2个阵元到第L个阵元为第二子阵，则这两个子阵的输出矢量分别为

式中， ，其中 表示 维单位矩阵， 表示 维零矩阵。文献综述

 由两个子阵之间的旋转不变特性可得（2.5）

其中， 为 阶对角阵，它代表两个子阵之间的相位延迟，其对角元素为

由A的列矢量张成信号子空间，则其与阵列流型长成的空间相等，因此存在一个唯一的 的非奇异矩阵T，使得 。因此可得

子阵间的旋转不变形，可得

因此，如果得到 的特征值，就可以得到信号的DOA估计值。在实现过程中，有限的快拍中得到 的估计值为 ，此时式（2.8）不再成立，因此需要用不同的准则对其进行近似。

一、最小二乘法（LS）。采用最小二乘法来求解式（2.8），需要最小化 和 之间的差值，令 则可以得到 估计的最小二乘解为

LE-ESPRIT算法的步骤总结如下：

1、由阵列接收数据得到协方差矩阵估计 ；

2、对 进行特征值分解，由大特征值对应的特征矢量张成信号子空间 ，由小特征值对应的特征矢量张成噪声子空间 ；