由 的挑选性质:
于是得到:位于积分区间内)
(位于积分区间内,且在处连续)
于是,将 代入距量方程式: (2.4.3)
其两边分别有: ,
原矩阵方程转变成:
故矩阵元素分别简化为:
从计算矩阵元素的式子可以得出,求解矩阵方程,求得基函数 和激励函数 在 点处的值,因此称为点匹配法, 这点就被称为匹配点。
点匹配法避免了加权积分,运算得到了简化。因为只是在边界的选定的离散点上进行匹配,故近似解的精度受到匹配点位置的影响。在实际求解过程中,匹配点位置可以先选择等距离的,根据初算结果作适当的调整。一般选用不同的离散点集合进行点匹配,计算出来的矩阵在形式上是不同的,但得到的解是相近的。用点匹配法所得结果的精度和相应的伽略金法相比,前者的精度要差一些。对于低阶解,选择不一样的匹配点,其结果也是有差别的;对于高阶解,匹配点对解的影响不是那么明显,所以一般情况下采用等间距的匹配点也可以得到较好的结果。
2.4.2伽略金法
当检验函数和基函数选择一样的时候,即 ,称为伽略金法。另外,分域匹配法、最小二乘法、幂函数法这些都是选择检验函数的方法。通常情况下,对于相同问题来讲,采用不同方法得到的解的精度是有差异的。在相同精度的情况下,基函数和检验函数的选取,主要依据是用哪种方法计算花费时间短。影响时间长短的两个因素之一是矩阵 的计算量,表达式为:
从上面的表达式可以得知算子 有算子的积分和内积的积分,需要两次积分。若 仅可以用数值积分来处理,那么基函数选择分域基函数会得到更好的结果(比如脉冲基函数),这样可以使计算简单化,计算量也就随之减少。若选取点匹配法作为检验函数,则避免了积分计算。
另一个影响计算时间的重要因素是求解矩阵方程的计算量,如果矩阵的阶数越高,则矩阵元素个数越多,计算所需要的时间也就随之增加。一般情况下,求解l矩阵的逆花费的时问是阶数的立方级。为了减少计算所花费的时间,在保证计算精度的前提下,尽量减少矩阵的阶数。选取的基函数尽量接近与之对应的物理量,只有两者接近,收敛才会变的更快,矩阵的阶数也就随之减少。
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