和图 1-2 我们就知道压缩感知理论所带来的不同。

2004 年，美国院士 D。Donodo 与华裔科学家 T。Tao 等人首次提出一个新兴的 信息采样定理——压缩感知定理（Compressed Sening,Compressed Sampling 或 简称 CS）。压缩感知理论利用信号的稀疏性和可压缩性对信号进行采样、编码， 当信号具有该特性时，可对采样信号进行准确的处理、重构[2]如图 1-2，也就是 说，压缩感知理论可以实现突破奈奎斯特理论采样定理的限制，对信号进行表示 和重建[3]。压缩感知理论已经引起了学术界和工业界的广泛关注。他在信息论， 图像处理，地球科学，光学和微波成像，图形识别，无线通信，大气，地质领域 被关注，被评为 2007 年十大科技进步的美国科学技术[4]。

图 1-1：传统信号数据处理过程

图 1-2：CS 理论下信号数据处理过程

1。3 发展与现状

第二章 压缩感知理论

对复杂问题的物理或理论，解决方法通常可以通过以下来确定，有句古话 叫：“要做的漂亮，而不是苦干。”这也是一种选择假说理论，当两者事物竞争 相当的时候，我们往往选择复杂程度更少的一个，而不是埋头研究两者。一个有 趣的例子是对行星的轨道的研究，有两种说法：一种是绕太阳旋转，另一种是绕 地球旋转。两种说法都是可行的，当对于绕太阳旋转的解释复杂度更少，所以我 们选择绕太阳学说。

这种选择假说理论衍生出一种最小描述长度原则，最小描述长度原则作为 启发式，或一般规则，以引导设计师走向模型，提供最简洁的系统表示。对于高 维信号或系统，这意味着，即使是小的或甚至是单一的功能，准确地描述它们的 复杂度是优选的，提取低维数据的过程是有意义的。人类视觉系统也遵循这种原 则，在一个单一的瞬间，人类大脑面临着 106 个光纤输入，它必须提取一个有意 义的低维表示。从理论上讲，科学家们遇到了同样的二维图像的高维数据集问题。 大量压缩算法，如 JPEG 2000 图像编码标准，利用小波系数的显着特征提取从高 维数据，无需保留所有图像像素。图像存储传输更倾向使用低维表示。在应用范 围，开发低维的高维数据集的理解能力可以大大提高系统性能。

在信号处理领域，相对于基准信号元素词典估计的低维信号表示得到很大的 重视。当说到字典，稀疏表示是必不可少的话题，在这种基础上，稀疏表示在文 学界有种说法：如果一个信号是足够稀疏的，最佳的信号表示可以解决一般的凸 优化问题。

正如所提到的，压缩感知是一个研究领域与稀疏表示量身定制的信号采集和 多通道传感应用。压缩感知已被证明能够显著降低了信号采集的开销。更重要的 是，稀疏表示为理论发展提供动力，它能准确地重建信号，并且使其基本优化。 压缩感知重建信号的能力不仅仅是一种降维的手段。而早在 20 世纪 90 年代初， 稀疏表示理论萌芽，这一时期还比较不成熟。本章介绍了基本的数学建模，以及 直观简单的例子。

2。1 信号的稀疏分解

所谓的信号稀疏表示，就是在给定的完备字典基础上，用尽可能少的原子和最简洁的表示方式，却又不缺原始信息的特征，来恢复原始信号，进一步处理、 传输及存储等。

2。1。1 稀疏信号

假设一个离散时间一维信号是空间矩阵 RMN 的 N 1 维列向量 D[d1, 。 。 。 , dN]，则处于空间 RMN 的任意信号 x 都可由 N 个基向量 D 表示：

假设基是正交的，N 维列向量称为字典，其中 N 是原始信号长度。2-1 式称 为稀疏逼近，系数是不唯一的，所以就有个最稀疏系数问题。最稀疏系数指的 是，系数矩阵中，函非零系数最少的矩阵系数。这就是稀疏表示的本意，用少量 的系数能够完整地表示恢复原始信号，从而减轻数据处理的工作量，比传统的基 于奈奎斯特采样定理的数据传输系统更加高效简单。关于稀疏度的度量，我们用