用有限元的方法来解决弹性力学的平面问题时，首先要人为的把一个连续体进行离散化，把一个连续体分割成有限个小单元，并且假设这些单元只在指定的节点处相互连接。单元划分的好坏会直接影响计算结果的精确程度和计算结果所用的时间。因此，单元的划分是有限元分析非常重要的一步，是有限元分析的基石。单元划分主要从单元大小、单元形状和材料不均匀这几方面考虑。

通过有限元的误差分析可以知道，在结果收敛的情况下，应力的误差是和单元的尺寸成正比的，而位移的误差是与单元尺寸的平方成正比的。单元划分越大，计算结果的误差也就越大，所以从理论上讲，单元划分越小，计算结果也就越精确。但是随着单元划分变小，它所对应的计算量就会增加，计算时间以及相应的工作量也会多出很多。而且计算表明，当单元划分小到一定程度，继续变小不但不能提高精度，反而会使精度降低，这是由于计算量增加导致计算误差增大形成的。所以在实际工作中，对单元大小的划分要根据工程对精度的要求、计算机容量以及计算时间等来决定。

在平面问题的单元形状选择中，最简单、最实用的就是常应变三节点三角形单元。相对于更为复杂的四节点矩形单元、六节点三角形单元、八节点等参单元等，常应变三节点三角形单元具有计算简单，易于适应边界的外形等优点，程序设计也比较简单。而且，三节点三角形单元一般足够满足实际工程的需要，所以本次毕业设计就选择常应变三节点三角形单元。在误差分析中，计算结果的误差与单元内最小的内角的正弦成反比，所以误差最小的是等边三角形，但是为了便于整理和计算结果，我选择使用直角三角形。

如果结构中的厚度或者弹性常数在结构中有突变，在进行单元划分的时候应该把厚度或弹性常数的突变线作为单元的边界线。如果单元穿过这些突变线，那么在这些地方的应力变化将不能被正确反映。本次毕业设计的结构中不存在厚度和弹性常数的变化，所以在这就不详细介绍了。

根据以上单元划分原则，我将我的模型划用直角三角形单元划分，矩形坐标轴建立和单元划分分别如图2。1和2。2所示，圆筒的模型建立和单元划分分别如图2。3和2。4所示。对模型进行单元划分后要进行的是单元以及节点的编号。单元的编号原则上可以任意编排，但是为了方便整理结果，我选择按照“从左向右，从上到下”的顺序进行编排。节点的编号与单元编号不同，节点编号的好坏直接决定了总刚度矩阵[K]的半带宽。半带宽过大不仅浪费时间和储存单元，而且会影响计算结果的精度。相邻节点的最大“节点号差”越小，总刚的半带宽也就越小，所以在进行节点编号的时候应该尽量使相邻节点的最大“节点号差”尽可能小编号结束表示结构的离散化就到此结束了。

图 2。 1  矩形模型图

图 2。 2  矩形离散图

图 2。 3  圆筒模型图

图 2。 4  圆筒离散图

2。2  单元分析

进行单元分析就要先了解单元的位移模式和形函数。对于平面问题，单元的每个节点都有两个自由度，即一个节点有两个位移分量，节点i的位移分量可以用ui和vi表示。所以单元三个节点的位移可以用一个列矩阵来表示，我们把它称为单元节点位移列矩阵，并用记号｛δ｝e来表示：

在求得节点位移后，如果要用几何方程求得单元的应变，再通过物理方程求出单元应力，就需要知道单元内的位移分布情况。但是单元内的分布情况我们事先无法知道，所以我们要对单元内的位移分布做出假设，即用一个坐标的函数来表示单元内任意一点的位移分量，这个假设的函数就被称为位移模式或者位移函数。为了这个函数的数学运算比较简单，通常用多项式来表示这个函数。从理论上讲，任何光滑函数都能由多项式逼近，而且多项式项数越多这个逼近就越精确。但是，由于很多限制，多项式的项数也不能随便乱取。比如三节点的三角形单元，它的位移模式通常设为如下一次多项式：论文网