摘要现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分的问题有密切关系。对于难用解析方法求解的部分实变函数，应用留数理论，可以将实变函数转化成复变函数，借留数定理来求解，这样不但可以解决问题，而且整个计算过程也将易于理解。另外使用留数理论，人们则将有机会去处理“大范围”的积分计算问题，并且能查看区域内函数的零点散布情况。关于留数的计算方法，很多人对此作了很多研究，但对于本性奇点处留数计算却很少有人发表过论文，而现行教科书对本性奇点也只介绍利用罗朗级数展开求留数，步骤沉长。所以本文根据求解m阶极点的方法，对于本性极点采取了换元的方法，转化为类似于求解m阶极点的形式来求解，并给出了典型算例以说明计算技巧和结果的正确性。86300

毕业论文关键词：孤立奇点；本性奇点；留数；极限法；

Abstract Theory of the residue is a continuation of Cauchy integral theory of residues in the complex variable function theory and its practical application is very important。 It can be used to calculate contour integrals。 In addition, by using residue theory, we can solve integral problems of wide range, you can also the distribution of zeros of a function。 A lot of people have made research on calculation of residues essential singularity, and the current textbook on singularity only introduced the method of the Laurent series, the procedure being tedious and lengthy。 Therefore, following the method of solving m order pole, the natural poles are transformed into a form that is similar to that of the M-th order pole。 Typical examples are given to illustrate the correctness of the calculation technique and the result。

Keywords: isolated singular point; essential singularity; residue; limit method

目录

第一章 绪论 1

1。1研究背景 1

1。2 研究现状 2

1。3 本文主要内容 2

第二章 孤立奇点和柯西积分定理 4

2。1 孤立奇点 4

2。1。1孤立奇点的概念 4

2。1。2孤立奇点的分类和判定 4

2。2柯西积分定理 5

第三章 留数定理 6

3。1 留数的概念 6

3。2 留数定理 7

3。3 留数和定理 7

3。4 留数的计算方法 7

第四章本性奇点留数的极限法 9

4。1 公式推导 9

4。2 演算举例 10

结论 13

致谢 14

参考文献 15

第一章 绪论

1。1研究背景

留数，也被称作为残数，指的是函数在其孤立奇点处的积分[1]。柯西在1814年的论文中建立由实函数到复函数的过度。在他1822年的论文里面，进而研究了复积分，得以让C_R方程变成复分析大厦的基石，并得出简单情形下的柯西积分定理。在1825年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于和计算积分问题的情形的类比，处理了复积分的相关问题，由不连续函数的复积分，给出了关于留数的定义[2]。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念。考虑当在矩形的内部或边界上不连续时，这时沿着两条不同路径的积分的值不同。如果在处，为无穷，极限存在，即在处有一个单极点，则积分的差称为积分留数[3]。柯西留数概念的提出与发展是柯西探索完美理论的产物。论文网