球轴承-转子系统的突跳响应行为是轴承非线性可以诱发的典型非线性振动现象[4]，突跳振动行为影响旋转机械的运行稳定性、安全性及寿命，可对于该系统失稳的机理及影响因素的研究还有待深入展开。另外，已有研究[17]从理论和实验上对周期倍化、准周期环面倍化以及破裂等系统发生混沌振动的途径进行了深入分析，可是对于系统常见的阵发性混沌突跳[18]的阵发类型及演化机制的研究还有待明确。因此，本课题将就球轴承-转子系统的失稳机理深入展开研究，并探讨抑制球轴承系统失稳的动力学控制方案。

模型和方法

2。1 两自由度球轴承模型

对于深沟球轴承，考虑赫兹接触变形、轴承游隙和时变刚度的经典两自由度弹簧模型[19]常用来研究球轴承-转子系统的动力学响应特性，这一方面由于该模型不需要通过循环迭代来满足轴承中元件之间的变形相容性条件关系，所以对于球轴承系统的动力学微分控制方程可直接采用各种数值积分方法求解，从而使采用解析方法分析系统的动力学行为成为可能。另外，已有研究指出经典两自由度球轴承模型在系统VC振动响应及轴承-转子系统的动力学行为分析中理论和实际实验的结果较为吻合[20]。比如，Bai和Zhang等[21]深入分析了在2000-10000 rpm转速范围内两自由度角接触球轴承-转子系统的响应特性，该研究考虑了轴承非线性因素（包括轴承变刚度、径向游隙和赫兹接触力等）作用下非对称、不平衡转子系统的运动行为，研究指出轴承非线性能够给整个转子系统带来倍周期分岔和亚谐共振行为，并且在亚谐共振区间内包含幅值突跳的振动现象，相关研究在大转速范围内数值计算结果和实验吻合的。

 图2。1 经典两自由度深沟球轴承模型及其径向位移变形关系论文网

由于经典两自由度轴承模型用于轴承-转子系统非线性动力学响应的研究是可靠、有效的，本文也将继续采用该轴承模型深入研究轴承的变刚度非线性振动。对于如图2。1所示的经典两自由度球轴承模型，考虑球轴承-刚性平衡转子的VC振动，其运动微分方程为

其中 ， ， ； ； 为Heaveside函数， ，式中“ ”即具体函数表达式。

上式中各个参量的物理意义： 为转子系统的质量； 为转子系统的阻尼系数； 为滚珠与轴承内外圈的Hertz接触刚度， 为轴承间隙； 为轴承外圈要承受的重量； 为转子的转速； 为第i个滚珠的瞬时方位角； 为滚珠绕轴承内外圈旋转的公转速度； 为滚珠的数量； 、 分别为轴承内外圈半径； 取 、0各自表示滚珠与轴承外圈的接触、非接触情况。

根据相似性理论对（2-1）式作如下变换：

其这里 

由(2-2)、(2-3)式可见，本文要处理的是一个复杂的非线性参激系统，此系统系统含有 个分段函数 ， ，且每个分段函数的分段条件要根据一个时变函数 来判断，常用的解析方法求解是无效的。

2。2 动力系统稳态响应求解文献综述

许多经典的解析方法和数值方法可对常微分方程描述的动力系统稳态响应进行求解分析。学者们经常研究常微分方程的初值问题，采用数值积分方法来求得整个动力系统模型的渐近稳态响应。Runge-Kutta（R-K）方法[22]是倍经常采用的常微分方程初值问题研究的数值积分方法之一。该算法的基础理论如下，对于常微分方程动力系统 ，由1阶精度的Lagrange中值定理有：